[論文レビュー] On Exponential Stabilization of Spin-1/2 Systems

Weichao Liang, Nina H. Amini+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2018

Quantum Information and Cryptography参考文献 16被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、連続測定下におけるスピン1/2量子系の基底状態または励起状態への指数的安定化のためのパラメータ化された連続時間フィードバック制御則を提案する。確率的リャプノフ技術を用いて、ほとんど確実な大域的指数的安定化を証明し、収束速度の下界を提示するとともに、制御則パラメータが性能に与える影響を分析する。

ABSTRACT

In this paper, we study the stabilization problem of quantum spin-1/2 systems under continuous-time measurements. In the case without feedback, we show exponential stabilization around the excited and ground state by providing a lower bound of the convergence rate. Based on stochastic Lyapunov techniques, we propose a parametrized measurement-based feedback which ensures exponential convergence toward the excited state. Moreover, we give a lower bound of the convergence rate for this case. Then, we discuss the effect of each parameter appeared in the control law in the convergence rate. Finally, we illustrate the efficiency of such feedback law through simulations.

研究の動機と目的

• フィードバックなしで連続測定下におけるスピン1/2系の基底状態または励起状態への指数的安定化を確立すること。
• 目標固有状態へのほとんど確実な大域的指数的安定化を保証する連続フィードバック制御則を設計すること。
• フィードバック制御系の収束速度の下界を導出すること。
• 制御則パラメータが収束速度に与える影響を分析すること。
• 数値シミュレーションを通じて制御則の有効性を検証すること。

提案手法

• 不完全な測定下におけるスピン1/2系の連続時間ダイナミクスを記述するため、確率的マスター方程式を用いる。
• 標準偏差に基づくσzに関する候補リャプノフ関数を用いて、安定性を分析するための確率的リャプノフ技術を適用する。
• 局所的収束を保証するとともに反対極状態を避けるために、制御入力utを含むパラメータ化されたフィードバック則を導入する。
• 伊藤の公式およびドーブのマルティンゲール収束定理を用いて、ほとんど確実な指数的安定性を証明する。
• オープンループ系に対してリャプノフ指数の下界として−ηM/2を導出し、これをフィードバック系へと拡張する。
• リャプノフ関数の無限小生成作用素を用いて、量子軌道の漸近的挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フィードバックなしの場合、量子状態の縮退が基底状態または励起状態へ向かう収束速度は何か？
• RQ2 連続フィードバック制御則は、スピン1/2系が目標固有状態へほとんど確実に大域的に指数的に安定化させ得るか？
• RQ3 フィードバック制御則のパラメータは、目標状態への収束速度にどのように影響するか？
• RQ4 フィードバック制御系の収束速度の下界は何か？
• RQ5 提案されたフィードバック則の下で、系の軌道は漸近的にどのように振る舞うか？

主な発見

• フィードバックなしでは、固有状態の集合{ρg, ρe}へのほとんど確実な指数的安定化が成立し、リャプノフ指数の下界が−ηM/2で与えられる。
• 特定の固有状態ρeまたはρgへの収束確率は、それぞれTr(ρ0ρe)またはTr(ρ0ρg)に等しい。
• 提案されたフィードバック制御則により、系はほとんど確実に大域的に指数的に安定化され、収束速度の下界は制御則パラメータに依存する正の定数で与えられる。
• 制御則構造により、目標状態への局所的吸引が保証されるとともに、反対極状態からの軌道の排斥が実現され、誤った固有状態への収束が防止される。
• 収束速度は制御則パラメータに敏感であり、その影響は本稿で解析的に定量化されている。
• シミュレーションにより、望ましい量子状態への高速かつロバストな安定化を達成するためのフィードバック制御則の有効性が確認された。