[論文レビュー] On Extremal Index of Max-Stable Random Fields

Enkelejd Hashorva|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2020

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 46被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、t ∈ ℤ^d におけるstationaryなmax-stable確率場 X(t) の極値指数 θ_X が、一般化されたPickands定数 𝒫 に一致することを確立し、θ_X が 0、正、または 1 となるための必要十分条件を提示する。さらに、θ_X がブロック極値指数に等しくなること、および特定の関数的指数が θ_X と一致することを証明し、max-stable場における極値的依存の統一的枠組みを提供する。

ABSTRACT

For a given stationary max-stable random field $X(t),t\in Z^d$ the corresponding generalised Pickands constant coincides with the classical extremal index $θ$ which always exists. In this contribution we discuss necessary and sufficient conditions for $θ$ to be 0, positive or equal to 1 and also show that $θ$ is equal to the so-called block extremal index. Further, we consider some general functional indices of $X$ and prove that for a large class of functionals they coincide with $θ$. Our study of max-stable and stationary random fields is important since the formulas are valid with obvious modifications for the candidate extremal index of multivariate regularly varying random fields.

研究の動機と目的

• stationaryなmax-stable確率場の極値指数 θ_X を一般化されたPickands定数の観点から特徴づけること。
• θ_X が 0、正、または 1 となるための必要十分条件を確立すること。
• 一般のstationarityおよび正則変動仮定の下で、θ_X がブロック極値指数に等しいことを証明すること。
• X から導かれる広範な関数的指数が θ_X と一致することを示すこと。
• スペクトル表現およびシフト不変関数への適用を通じて、max-stable場における極値的依存概念を統一すること。

提案手法

• スペクトル表現 X(t) = max_i Γ_i^{-1/α} Z_i(t) を用い、Z_i はi.i.d.なスペクトル場 Z のコピーである。
• de Haanの特徴づけおよびBalkemaの補題を適用し、正規化 E[Z^α(t)] = 1 の下でスペクトル場の存在および一意性を保証する。
• Pickands定数を lim_{n→∞} (1/n^d) E[max_{t∈[0,n]^d} Z^α(t)] として定義し、これが極値指数 θ_X に等しいことを示す。
• 成長するブロックにおける最大値の極限挙動を通じて、θ_X とブロック極値指数の等価性を確立する。
• 標本路空間上のシフト不変かつ0-斉次関数 F を用い、E[F(Θ)] における恒等式を導出する。ここで Θ は正規化された場である。
• 補題7.2を適用し、有界性および斉次性の下で E[F(Z)] = 0 ならば E[F(Θ)] = 0 であり、E[F(Z)] = 1 ならば E[F(Θ)] = 1 であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 stationaryなmax-stable場の極値指数 θ_X が 0、正、または 1 となるのはいつか？
• RQ2 古典的極値指数 θ_X は常に一般化されたPickands定数 𝒫 に等しいか？
• RQ3 一般条件下で極値指数 θ_X はブロック極値指数と等価か？
• RQ4 シフト不変かつ0-斉次関数に依存する関数的指数は θ_X と一致するか？
• RQ5 スペクトル場 Z が正規化 E[Z^α(t)] = 1 を満たし、P(max_t Z(t) > 0) = 1 を満たすための条件は何か？

主な発見

• stationaryなmax-stable確率場 X(t) の極値指数 θ_X は、常にその一般化されたPickands定数 𝒫 に等しく、θ_X ∈ [0,1] は常に存在する。
• θ_X = 0 であるための必要十分条件は、スペクトル場 Z が P(Z(t) > 0) = 1 を満たす点を持たないことであり、θ_X = 1 であるための必要十分条件は、X(t) が独立な単位Fréchet変数から成ることである。
• 与えられた正則性条件下で、式 (1.7) に定義される極限を通じて得られるブロック極値指数と等価である。
• 任意のシフト不変かつ0-斉次関数 F に対して、E[F(Z)] = 0 ならば E[F(Θ)] = 0 であり、E[F(Z)] = 1 ならば E[F(Θ)] = 1 である。これは関数的指数が θ_X と一貫することを保証する。
• X(t) = max(pη₁(t), (1−p)η₂(t)) の形で定義されるmax-stable場の極値指数は、θ_X = pθ_η₁ + (1−p)θ_η₂ に等しくなる。これは混合における線形性を示している。
• この結果はすべてのunit Fréchet周辺を持つmax-stable場に成立し、近似により一般のstationaryかつ正則変動場へ拡張可能である。