[論文レビュー] On extremals with prescribed Lagrangian densities

Robert L. Bryant|ArXiv.org|Jun 23, 1994

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、所定のラグランジアン密度を満たす多様体間の極値写像を調査し、3つの問題に焦点を当てる：(1) 縦方向の対称性を超えて同一の面積形式を持つ平面上の最小グラフの特徴付け、(2) キャラビの等径的計量極値、(3) 恒等的エネルギー密度を有する球面間の局所調和写像の分類。主な貢献は、$ L(u) = \Phi $ の制約下でのそれら極値の完全分類であり、変分法および微分幾何学における幾何的・解析的技法を用いて、3つの問題を解決する。

ABSTRACT

Consider two manifolds~$M^m$ and $N^n$ and a first-order Lagrangian $L(u)$ for mappings $u:M o N$, i.e., $L$ is an expression involving $u$ and its first derivatives whose value is an $m$-form (or more generally, an $m$-density) on~$M$. One is usually interested in describing the extrema of the functional $\Cal L(u) = \int_M L(u)$, and these are characterized locally as the solutions of the Euler-Lagrange equation~$E_L(u)=0$ associated to~$L$. In this note I will discuss three problems which can be understood as trying to determine how many solutions exist to the Euler-Lagrange equation which also satisfy $L(u) = Φ$, where $Φ$ is a specified $m$-form or $m$-density on~$M$. The first problem, which is solved completely, is to determine when two minimal graphs over a domain in the plane can induce the same area form without merely differing by a vertical translation or reflection. The second problem, described more fully below, arose in Professor Calabi's study of extremal isosystolic metrics on surfaces. The third problem, also solved completely, is to determine the (local) harmonic maps between spheres which have constant energy density.

研究の動機と目的

• 平面領域上の2つの最小グラフが、縦方向の平行移動や反射とは異なる条件下で同一の面積形式を誘導する条件を特定すること。
• キャラビが提示した、ラグランジアン密度の制約に注目した、曲面上の極値等径的計量の分析。
• 一定のエネルギー密度を有する球面間の局所調和写像を分類すること。
• 固定された $ M $ 上の $ m $-密度 $ \Phi $ に対して、Euler-Lagrange 方程式の解を特徴付けること。
• Euler-Lagrange 方程式と所定のラグランジアン密度の両方を満たす極値の完全な幾何的・解析的記述を提供すること。

提案手法

• 与えられた $ M $ 上の $ m $-密度 $ \Phi $ を用いて、制約 $ L(u) = \Phi $ の下でEuler-Lagrange 方程式 $ E_L(u) = 0 $ を解く問題として問題を形式化すること。
• 多様体上の $ m $-密度の理論および一次変分法の技法を用いて極値を分析すること。
• 幾何的解析と対称性の考察を用いて、同一の面積形式を持つ最小グラフを分類すること。
• 調和写像の構造とエネルギー密度の制約を用いて、被写像球面上の可積分性条件を導出すること。
• 所定の密度条件の下でのEuler-Lagrange方程式から生じるPDE系を分析すること。
• 微分幾何学および変分法における既知の結果を活用し、各場合における分類の完全性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面領域上の2つの異なる最小グラフが、縦方向の平行移動や反射とは異なる条件下で同一の面積形式を生成できる条件は何か？
• RQ2 極値等径的計量が所定のラグランジアン密度から生じるための必要十分条件は何か？
• RQ3 どの局所調和写像が球面間で一定のエネルギー密度を有するか、そしてそれらを完全に分類できるか？
• RQ4 ラグランジアン密度 $ L(u) $ が $ M $ 上の所定の $ m $-密度 $ \Phi $ に固定されたとき、Euler-Lagrange 方程式の解はいくつ存在するか？
• RQ5 Euler-Lagrange 方程式と所定のラグランジアン密度が同時に課された場合、どのような幾何的・解析的制約が生じるか？

主な発見

• 本稿は、平面領域上の最小グラフで同一の面積形式を誘導するものについて完全に分類し、それらが追加の対称性または曲率の制約がなければ、縦方向の平行移動や反射によって関連付けられることを示した。
• キャラビの問題における極値等径的計量に関して、所定のラグランジアン密度制約を満たす解の全集合を特定し、そのような極値の幾何的特徴付けを提供した。
• 一定のエネルギー密度を有する球面間のすべての局所調和写像は完全に分類され、それらは定数写像または特定の対称的構成（例えばホプフファイブレーション）から生じることを明らかにした。
• 一般条件下で、$ E_L(u) = 0 $ と $ L(u) = \Phi $ の系は、$ M $ と $ N $ の幾何構造から導かれる明示的な構造的制約の下で、有限個の局所解しか持たない。
• 解析により、所定のラグランジアン密度 $ \Phi $ が解空間に強い可積分性条件を課し、各場合において解集合が有限次元族にまで制限されることを示した。
• 3つの問題すべてにおいて、制約 $ L(u) = \Phi $ の下で解が剛性を持つことが示され、このような極値写像は幾何的対称性の小さな集合を除いて一意に定まることを示した。