[論文レビュー] On Fano foliations 2

Carolina Araujo, Stéphane Druel|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、射影空間に同型でない複素射影多様体上の、指数 r−1 の反 canonical類をもつ正則foliation（del Pezzo foliation）を分類する。対数葉理論とMori理論を用いて、ρ(X)=1 または特定のファイブレーションを持つFano多様体上でのこのようなfoliationが、射影空間または二次曲面 hypersurface であることを証明し、線形射影とベクトルバンドル構成による明示的な幾何的構成を与えている。

ABSTRACT

In this paper we study mildly singular del Pezzo foliations on complex projective manifolds with Picard number one

研究の動機と目的

• P^n に同型でない複素射影多様体上でのランク r で指数 r−1 のdel Pezzo foliationを分類すること。
• 最小モデルプログラムから得られる対の特異点を用いて、代数的可積分foliationの一般対数葉の幾何を理解すること。
• このようなfoliationが特定のベクトルバンドル構造を持つP^k 上のファイブレーションまたは線形射影から生じる条件を特定すること。
• log canonical 特異点およびランク制約を超えて、del Pezzo foliationの分類を拡張すること。
• インデックスと自由性の議論を用いて、ある条件下で環境多様体がP^n またはQ^n に同型でなければならないことを確立すること。

提案手法

• 代数的可積分foliationに対して、(F, Δ̃) という対数葉理論を適用し、K̃F + Δ̃ = e* KF を満たす。
• 対 (F̃, Δ̃) を用いたfoliationの対数正則特異点の概念を導入し、最小モデルプログラムからの分類結果を適用する。
• 一般点を通る自由な有理曲線の存在を応用し、Theorem 2.2 (Kobayashi-Ochiai) を用いて、ιX ≥ n のインデックスの上限を得る。
• 特にF̃ が有理曲線の錐である場合に、吹き上げと射影バンドル構成を用いて一般対数葉 (F̃, Δ̃) の構造を分析する。
• 相対的線形射影構成を用いて、P(E) 上のfoliationをP(K) 上の曲線foliationの引き戻しとして実現する。
• 吹き上げ上の標準バンドル公式：KY + π*ΔZ ∼Z (m−2)E + e*(KF + Δ) を用い、既知の接続公式と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P^n に同型でない複素射影多様体上でのランク r で指数 r−1 のdel Pezzo foliationの可能な幾何的構造は何か？
• RQ2 ρ(X)=1 またはP^k-バンドルを持つ多様体上でのdel Pezzo foliationが、線形射影またはベクトルバンドル構成から生じる条件は何か？
• RQ3 一般対数葉 (F̃, Δ̃) の特異点が、foliationおよび環境多様体の全体的幾何をどのように制約するか？
• RQ4 log canonical および局所自由な仮定を超えて、del Pezzo foliationの分類を拡張できるか？
• RQ5 一般対数葉が有理正規曲線の錐である場合の特徴は何か、そして環境多様体にどのような影響を与えるか？

主な発見

• X が P^n に同型でなく、ρ(X)=1 であるならば、X は Q^n、すなわち n 次元の二次曲面 hypersurface に同型でなければならない。
• P^n に同型でない X 上のランク r ≥ 3 のdel Pezzo foliationについて、一般対数葉が有理正規曲線の錐であるとき、環境多様体 X は Q^n に同型である。
• 一般対数葉 (F̃, Δ̃) が次数 d ≥ 2 の有理正規曲線の錐に同型であるとき、環境多様体 X は Q^n に同型である。
• foliation は、Proposition 3.18 で示されるように、P^{n+1} ⇢ P^{n−r} の線形射影の Q^n 上への制限によって誘導される。
• ρ(X)=1 の多様体上のランク 2 のdel Pezzo foliationについて、一般対数葉 (F̃, Δ̃) は以下の4つの標準的型のいずれかに同型である：P^2 に O(1)、O(2)、F_d に O(σ+f)、P(1,1,d) に O(2ℓ)。
• すべての場合において、一般葉に沿った局所自由性の仮定の下で分類は完全であり、環境多様体は P^n または Q^n に同型である。