[論文レビュー] On financial applications of the two-parameter Poisson-Dirichlet distribution

Sergey Sosnovskiy|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2015

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、株式市場における時価総額分布曲線の確率的・組合せ的モデルとして、二パラメータのポisson-ディリクレ(PD(α,θ))分布を提案する。市場を投資資本の確率的分割とみなすことにより、無限次元構造と関連する拡散過程を通じて、順位付けられた時価総額の安定的かつパワー則的形状を捉える。実証的適合は、主要なグローバル証券取引所およびS&P500の下落局面において、強い一致を示している。

ABSTRACT

Capital distribution curve is defined as log-log plot of normalized stock capitalizations ranked in descending order. The curve displays remarkable stability over periods of time. Theory of exchangeable distributions on set partitions, developed for purposes of mathematical genetics and recently applied in non-parametric Bayesian statistics, provides probabilistic-combinatorial approach for analysis and modeling of the capital distribution curve. Framework of the two-parameter Poisson-Dirichlet distribution contains rich set of methods and tools, including infinite-dimensional diffusion process. The purpose of this note is to introduce framework of exchangeable distributions on partitions in the financial context. In particular, it is shown that averaged samples from the Poisson-Dirichlet distribution provide approximation to the capital distribution curves in equity markets. This suggests that the two-parameter model can be employed for modelling evolution of market weights and prices fluctuating in stochastic equilibrium.

研究の動機と目的

• 確率論における分割構造を、特に株式市場のダイナミクスに応用すること。
• 伝統的なモデル（MPT や CAPM）が説明できない、時間的・市場的要因にわたる安定的時価総額分布曲線の実証的観察を解明すること。
• 二パラメータのポisson-ディリクレ分布が、確率的平衡状態における順位付けられた市場時価総額の自然な定常分布であると提唱すること。
• 実証的に、PD(α,θ)分布が複数のグローバル株式取引所における観測された時価総額分布曲線に統計的に堅牢な適合を示すことを示すこと。
• PD(α,θ)分布を保存する確率的過程が存在し、それが市場時価総額の確率的平衡状態における進化をモデル化できることを示すこと。

提案手法

• 株式市場を、株式の時価総額が分割におけるブロックサイズに対応する投資資本の確率的分割とモデル化する。
• 二パラメータのポisson-ディリクレ分布（PD(α,θ)）を、無限次元単体における順位付けられた市場時価総額の極限分布として適用する。
• サイズに比例したサンプリングを用いた棒割り構成を用い、PD(α,θ)分布からのサンプルを生成し、実証的比較に用いる。
• レベル間で一貫した上昇／下降遷移を持つ分割上のマーカフ連鎖を用い、PD(α,θ)が唯一の定常分布となる可逆的拡散過程を導出する。
• 最小二乗推定法を用いて、観測された時価総額分布曲線にPD(α,θ)モデルを適合させ、最適なパラメータαとθを特定する。
• フレームワークを拡張し、S&P500の正規化された日次下落幅をモデル化し、PD(α,θ)が相対的下落幅の実証的分布に良好に適合することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二パラメータのポisson-ディリクレ分布は、異なる株式市場および時間期間における時価総額分布曲線の実証的安定性をモデル化できるか？
• RQ2 順位付けられた市場時価総額の対数-対数プロットにおける時間的安定性を説明する背後にある確率的メカニズムは何か？
• RQ3 PD(α,θ)分布は、主要なグローバル株式取引所の実際の順位付けられた時価総額データにどの程度適合するか？
• RQ4 PD(α,θ)分布は、主要インデックスの相対的下落幅の分布といった、他の金融現象に対してもモデル化可能か？
• RQ5 PD(α,θ)分布を保存する確率的過程が存在し、それが市場時価総額の確率的平衡状態における進化をモデル化できるか？

主な発見

• 二パラメータのポisson-ディリクレ分布は、NYSE、NASDAQ、日本、EURONEXT、香港など、主要な株式取引所の時価総額分布曲線に強く実証的適合する。2014年11月現在のグローバル取引所の最適パラメータは(α=0.44, θ=18)である。
• S&P500の相対的市場時価総額の分布に対しても、PD(α,θ)分布は適合しており、1950年から2014年までの正規化された日次下落幅に、θ=80およびα=0.24のパラメータが良好な適合を示している。
• PD(α,θ)分布が、株式市場における基礎となる分割構造の定常分布を近似するという仮説は、支持を受けている。
• フレームワークは、順位付けられた市場時価総額の確率的進化が、PD(α,θ)分布をその平衡測度として保存する拡散過程によってモデル化可能であると示唆している。
• モデルは、特に無限次元的性質と分割レベル間の一貫性を有する交換可能性のある分割構造の組合せ的・確率的性質を通じて、時価総額分布曲線の安定性を説明している。
• サイズに比例した棒割り構成は、PD(α,θ)分布からのサンプリングを効率的に行う手法を提供し、実証的データとの実装および比較を可能にしている。