[論文レビュー] On finite volume, negatively curved manifolds

T. Tâm Nguyễn Phan|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、すべての次元 $n \geq 2$ において、無限生成の基本群と非ターミナルな端を持つ、有限体積で負に曲がった多様体を構成し、有界な負の曲率のもとではターミナリティが成立しないことを示している。ターミナリティを保証する曲率成長と体積減衰の条件を確立し、そのような多様体の普遍被覆が可視性公理を満たさないことがあることを示しており、幾何的位相幾何学における仮定に挑戦している。

ABSTRACT

We study noncompact, complete, finite volume, negatively curved manifolds $M$. We construct $M$ with infinitely generated fundamental groups in all dimensions $n \geq 2$. We construct $M$ whose cusp cross sections are compact hyperbolic manifolds in all dimension $n\geq 3$. In contrast we show that if sectional curvature $-1

研究の動機と目的

• 曲率ピンチングを緩和した場合の、有限体積で負に曲がった多様体の位相的・幾何的挙動を調査すること。
• 無限生成の基本群と非ターミナルな端をもつようなそのような多様体の例を構成すること。
• 位相的有限性（ターミナリティ）を保証する曲率および体積減衰の条件を同定すること。
• 有限体積で負に曲がった多様体において、その普遍被覆が可視性公理を満たすかどうかを検討すること。
• ターミナルで、有限体積で負に曲がった多様体における、可能なカスプ断面の分類をすること。

提案手法

• ハイパボリック多様体の手術により $n$ 次元多様体 $M$ を構成し、測地線ループ $H$ を除去することで、無限に発散する負の曲率をもつ非ターミナルな端を生成する。
• $H$ のチューブ近傍上で、$g = \cosh^2(r)du^2 + \sinh^2(r)d\theta^2 + f(r)^2dr^2$ という計量を用い、$f(r)$ は $r \to 0$ で凸かつ発散するようにする。
• 回転面における測地線に沿った角運動量の保存則を用いて、測地線の発散挙動を分析する。
• 初期角 $\alpha_0$ が $\rho_0 \sin \alpha_0 < h$ を満たす測地線の発散は、表面に留まり、無限遠点で共通の点に収束しないことを示す。
• 二つのような測地線の理想境界点を結ぶ測地線が存在しないことを証明し、普遍被覆における可視性公理の不成立を示す。
• 3次元の議論を、測地線ループを含む完全測地的3次元部分多様体に制限することで、高次元へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体積で負に曲がった多様体が、無限生成の基本群と非ターミナルな端をもつことは可能か？
• RQ2 有限体積で負に曲がった多様体におけるターミナリティを保証する曲率成長と体積減衰の条件は何か？
• RQ3 有限体積で負に曲がった多様体の普遍被覆が可視性公理を満たさないことはあり得るか？
• RQ4 ターミナルで、有限体積で負に曲がった多様体におけるカスプ断面として現れる可能性のあるコンパクトな多様体は何か？
• RQ5 曲率成長が十分に遅ければ、体積減衰の程度に関わらず、位相的有限性は保証されるのか？

主な発見

• 各 $n \geq 2$ に対して、$K(M) < -1$ を満たし、無限個の端をもつ完全で有限体積の $n$ 次元多様体が存在し、曲率ピンチングがなければターミナリティが成立しないことを示している。
• 各 $n > 2$ に対して、2端持ちで、有限体積で負に曲がった多様体が存在し、その基本群は無限生成で、端はレイトに quasi-isometric ではない。
• 曲率成長と体積減衰の条件 $\lim_{r \to \infty} b_p(r)^n \cdot \text{Vol}(A_p(r))^2 = 0$ が満たされれば、多様体のターミナリティが保証される。
• 任意の非減少関数 $f$ に対して、$b_p(r) < f(r)$ かつ無限生成の基本群をもつ有限体積で負に曲がった多様体が存在することを示し、曲率成長のみでは有限性が保証されないことを示している。
• 特定の有限体積で負に曲がった多様体の普遍被覆は、境界における測地線が接続されないことで、可視性公理を満たさないことが示された。
• ターミナルで、有限体積で負に曲がった多様体のカスプ断面は、すべての次元 $n \geq 3$ において、コンパクトな双曲多様体になり得る。