[論文レビュー] On finitely Lipschitz space mappings

Руслан Салімов|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2011

Analytic and geometric function theory参考文献 9被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、$ n \geq 2 $ における $ \bbR^n $ において、$ p $-modulus に関するリング $ Q $-ホームオモルフィズムが、$ n-1 < p < n $ かつ $ Q $ の無限小球上の本質的上界が有限である場合、任意の点で有限リプシッツ連続であることを確立している。主な結果は、$ L^1 $-平均に明示的な依存関係を示す点でのリプシッツバインディングであり、$ n $ および $ p $ に依存する。

ABSTRACT

It is established that a ring $Q$-homeomorphism with respect to $p$-modulus in ${\Bbb R}^n$, $n\geqslant2,$ is finitely Lipschitz if $n-1

研究の動機と目的

• $ p $-modulus に関するリング $ Q $-ホームオモルフィズムが $ \bbR^n $（$ n \geq 2 $）で有限リプシッツであるための十分条件を確立すること。
• $ Q $ が小さな球上で有限な平均積分を持つときの $ Q $-ホームオモルフィズムの正則性を調査すること。
• $ p $-modulus と度合いの歪みの間の相互作用を分析することで、準正則および準等長写像を超えた $ Q $-ホームオモルフィズム理論を拡張すること。
• $ Q $ の近傍での $ L^1 $-平均を用いて、点でのリプシッツ定数の定量的バインディングを導出すること。

提案手法

• $ p $-modulus に関するリング $ Q $-ホームオモルフィズムの定義を用い、すべての適切な $ \varrho $ および経路族 $ \Gamma $ に対して $ M_p(f\Gamma) \leq \int_G Q(x) \varrho^p(x)\,dm(x) $ を満たすことを要件とする。
• 度合いと歪みの関係を確立するため、容量推定式 $ \mathrm{cap}_p(fB(x_0,2\varepsilon), \overline{fB(x_0,\varepsilon)}) \geq \gamma \left( \frac{d^p(fB(x_0,\varepsilon))}{m^{1-n+p}(fB(x_0,2\varepsilon))} \right)^{1/(n-1)} $ を適用する。
• リング $ Q $-ホームオモルフィズム条件と、区間 $ (\varepsilon, 2\varepsilon) $ で $ \eta(t) = 1/\varepsilon $ であるテスト関数を組み合わせ、$ \mathrm{cap}_p(fB(x_0,2\varepsilon), \overline{fB(x_0,\varepsilon)}) \leq \frac{1}{\varepsilon^p} \int_{A(x_0,\varepsilon,2\varepsilon)} Q(x)\,dm(x) $ のバインディングを導出する。
• ボール $ B(x_0,\varepsilon) $ における $ Q $ の $ L^1 $-平均、$ Q_0 $ をリプシッツ定数の制御パrameterとして用いる。
• $ p $-容量と $ p $-モジュラスを用いた一般化されたポincare型不等式と測度比較を適用し、像の球の直径のバインディングを導出する。
• $ \varepsilon \to 0 $ の極限をとることで、点でのリプシッツバインディング $ L(x_0,f) \leq \lambda_{n,p} Q_0^{1/(n-p)} $ を得る。ここで $ \lambda_{n,p} $ は $ n $ および $ p $ のみに依存する正の定数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ n \geq 2 $ における $ \bbR^n $ で、$ p $-modulus に関するリング $ Q $-ホームオモルフィズムが有限リプシッツであるための $ Q $ の条件は何か？
• RQ2 小さな球上での $ Q $ の局所的 $ L^1 $-平均が、このような写像の点でのリプシッツ挙動にどのように影響するか？
• RQ3 $ n-1 < p < n $ のとき、リプシッツ定数が $ p $-モジュラスおよび領域の幾何にどのように依存するか？
• RQ4 キャルデロン型条件を満たすOrlicz-Sobolevクラスの写像に、$ Q $-ホームオモルフィズム理論を拡張できるか？
• RQ5 $ Q $ の平均を用いて、$ Q $-ホームオモルフィズムによる像の球の歪みに定量的バインディングは存在するか？

主な発見

• $ n-1 < p < n $ かつ点 $ x_0 \in G $ の周囲の小さな球上での $ Q $ の平均値の本質的上界が有限である限り、$ p $-modulus に関するリング $ Q $-ホームオモルフィズムは点 $ x_0 $ で有限リプシッツ連続である。
• ポイントワイズリプシッツ定数は $ L(x_0,f) \leq \lambda_{n,p} Q_0^{1/(n-p)} $ を満たす。ここで $ Q_0 = \overline{\lim}_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\Omega_n \varepsilon^n} \int_{B(x_0,\varepsilon)} Q(x)\,dm(x) $ であり、$ \lambda_{n,p} $ は $ n $ および $ p $ のみに依存する正の定数である。
• $ Q $ の平均積分が定義域のすべての点で有限であれば、この結果はグローバルに成り立ち、$ f $ が $ G $ 上で有限リプシッツであることを示す。
• 議論は、アニュラス内に compact 支持を持つテスト関数を用いた、像コンデンサーの $ p $-容量と経路の $ p $-モジュラスの比較に依存している。
• 係数 $ 1/(n-p) $ は、$ n $ 次元空間における $ p $-モジュラスと容量のスケーリングから自然に生じるため、このバインディングは鋭い。
• この結果により、準正則および準等長写像を超える、特定の Orlicz-Sobolev および $ W^{1,p} $-Sobolev 写像（$ p > n-1 $）を含む、有限歪みを持つ写像のクラスが拡張される。