[論文レビュー] On finiteness properties of polynomial functors

Aurélien Djament|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、初期単位を備えた小規模な対称モノイダル圏からアーベル圏への多項式函手の圏における、有限性の性質——特にネーター性、クルル次元、および有限提示の変種——を調査する。自由アーベル群の圏におけるスプリットモノモルフィズムを伴う弱多項式函手の圏が『ほぼ』局所ネーター的であることが示され、特に自由群の自己同型に関連する函手への応用が重要な役割を果たす。

ABSTRACT

We study finiteness properties, especially the noetherian property, the Krull dimension and a variation of finite presentation, in categories of polynomial functors from a small symmetric monoidal category whose unit is an initial object to an abelian category (notion introduced in this general setting in the work http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00851869 joint with C. Vespa). We give also an application to functors related to automorphisms of free groups.

研究の動機と目的

• 小規模な対称モノイダル圏（初期単位を備える）からアーベル圏への多項式函手の圏における、ネーター性、クルール次元、および有限提示の変種といった有限性の性質を分析すること。
• 有限集合と単射の圏（FI-モジュール）で知られているネーター性の結果を、自由アーベル群とスプリットモノモルフィズムの圏といったより複雑な圏へと拡張すること。
• Z^n の場合に標準的な多項式函手がネーター的でないという問題に対処するため、より弱い『ほぼネーター的』という条件を導入すること。
• 合同部分群のホモロジーおよび自由群のIA自己同型に関連する函手への応用。
• 有限生成函手におけるシフト函手の非安定性に対処するため、商圏およびセクション函手の導来函手に関する技術的道具を構築すること。

提案手法

• 強い多項式函手が部分函手において不安定であるという問題を克服するため、商圏における像が多項式函手であるような函手として『弱多項式函手』の概念を導入する。
• 弱多項式函手の研究を、より取り扱いやすい設定における多項式函手の研究に還元するため、商圏の構成を用いる。
• [9] で得られたヘルミート的圏上の多項式函手の構造に関する結果を活用し、多項式函手の次数に関する再帰的・ネストされた帰納法を用いる。
• 重要な技術的道具として、商圏から元の圏へのセクション函手の存在を用い、そのホモロジー的性質を制御する。
• シフト函手が函手の圏において有限生成性を保存しない問題を回避するため、有限台を持つ函手の概念を用いる。
• グローテンディーク圏および局所ネーター的圏に関する結果を用いて、弱多項式函手の圏の構造的性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期単位を備えた対称モノイダル圏からアーベル圏への弱多項式函手の圏が、どのような条件下で局所ネーター的になるか？
• RQ2 自由アーベル群とスプリットモノモルフィズムの圏からアーベル圏への弱多項式函手の圏が、なぜ局所ネーター的でないのか、そしてどのようなより弱い有限性性質を満たすのか？
• RQ3 射影的対象が有限型でないような圏、例えば自由アーベル群とスプリットモノモルフィズムの圏のようなものに対して、多項式函手の理論をどのように拡張できるか？
• RQ4 商圏の構成が、多項式函手の有限性性質を安定化させる役割を果たす仕組みは何か？
• RQ5 自由群の自己同型群のホモロジーは、有限生成な弱多項式函手を用いて研究可能か？また、どのような有限性制約が生じるか？

主な発見

• 有限環 A に対して、S(A) から局所ネーター的グローテンディーク圏への弱多項式函手の圏は局所ネーター的である。
• A = Z の場合、S(Z) から局所ネーター的グローテンディーク圏への弱多項式函手の圏は『ほぼ』局所ネーター的である。これは、ほぼネーター的函手によって生成されることを意味する。
• 函手 F: S(Z) → A が、ある n に対して、ランク ≥ n の自由アーベル群の全単射部分圏への制限がネーター的であるとき、F はほぼネーター的である。
• 弱多項式函手の圏 S(Z) → Ab は局所ネーター的でない。これは、n ≥ 2 のとき Z[GL_n(Z)] がネーター的でないためである。
• F(V) = V* ⊗ V ⊗ V および A(V) = V であるとき、F → A への全射の核は、次数 3 の完全な多項式函手であるが、セクション函手 η の像にある函手の拡張から構成されるものではない。これは、拡張による飽和が、すべての完全な多項式函手を捉えないことを示している。
• 商圏から元の圏へのセクション函手の導来函手は、ほぼネーター的であるという結果を証明するために不可欠なホモロジー的性質を満たす。