[論文レビュー] The representation theory of finite sets and correspondences

Serge Bouc, Jacques Thévenaz|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、有限集合および対応関係から k-加群への関手である対応関手の表現論を展開する。体 k 上で、関手が有限生成であることと、その評価が集合のサイズに関して指数関数的に増加することとは同値であり、このような関手は有限長を持つことが示され、分配的ラティスを用いた射影性の特徴づけがなされ、ラティス構成を用いて単純関手が分類される。

ABSTRACT

We investigate correspondence functors, namely the functors from the category of finite sets and correspondences to the category of $k$-modules, where $k$ is a commutative ring.They have various specific properties which do not hold for other types of functors.In particular, if $k$ is a field and if $F$ is a correspondence functor, then $F$ is finitely generated if and only if the dimension of $F(X)$ grows exponentially in terms of the cardinality of the finite set $X$. In such a case, $F$ has finite length. Also, if $k$ is noetherian, then any subfunctor of a finitely generated functor is finitely generated. When $k$ is a field, we give a description of all the simple functors and we determine the dimension of their evaluations at any finite set.A main tool is the construction of a functor associated to any finite lattice $T$. We prove for instance that this functor is projective if and only if the lattice $T$ is distributive. Moreover, it has quotients which play a crucial role in the analysis of simple functors. The special case of total orders yields some more specific results. Several other properties are also discussed, such as projectivity, duality, and symmetry.In an appendix, all the lattices associated to a given poset are described.

研究の動機と目的

• 有限集合および対応関係の圏上で定義された関手の包括的な表現論を構築すること。
• 体上での有限生成対応関手を、その評価の成長率が指数関数的であることによって特徴づけること。
• すべての単純関手を分類し、任意の有限集合における次元を特定すること。
• ラティス論的基準を用いて、このような関手が射影的であるための条件を確立すること。
• ネーター環上での双対性、対称性、部分関手の有限生成性といった構造的性質を調査すること。

提案手法

• 任意の有限ラティス T に対して関手を構成し、対応関手の構造を分析する中心的道具とする。
• 構成された関手が射影的であることと、ラティス T が分配的であることとは同値であることを証明する。
• ラティスに付随する関手の商関手を用いて、単純関手を分析および分類する。
• 全順序の特別な場合を分析し、より具体的な構造的結果を導出する。
• 双対性および対称性の原理を応用して、対応関手の構造的不変量を理解する。
• 付録において、与えられた半順序集合に付随するすべてのラティスを記述し、分類のための基盤的道具を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体 k 上で、対応関手が有限生成であるための条件は何ですか？
• RQ2 F(X) の |X| に関する成長率は、F の有限生成性および有限長とどのように関係していますか？
• RQ3 有限ラティス T に付随する関手が射影的であるのはいつですか？
• RQ4 単純対応関手の完全な分類は何か、そして各有限集合における次元は何か？
• RQ5 k がネーター環であるとき、有限生成対応関手の部分関手が自身も有限生成であるための条件は何か？

主な発見

• 体 k 上で、対応関手 F が有限生成であることと、dim_k F(X) が |X| に関して指数関数的に増加することは同値である。
• k が体で F が有限生成のとき、F は k-加群値関手として有限長を持つ。
• 有限ラティス T に付随する関手が射影的であることと、T が分配的ラティスであることは同値である。
• 単純関手はラティスに付随する関手の商を用いて完全に分類され、任意の有限集合における評価の次元が明示的に決定されている。
• k がネーター環のとき、有限生成対応関手のすべての部分関手は、自身も有限生成である。
• 付録では、与えられた半順序集合に付随するすべてのラティスの完全な記述がなされ、関手の分類を支援する。