[論文レビュー] On Flow Equivalence of Sofic Shifts

Rune Johansen|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本博士論文は、グラフ被覆の構造的性質を用いて、soficシフトのフロー同値性を調査する。標準被覆を導入し、左フィッシャー被覆を一般化する。Krieger被覆および過去集合被覆に階層的構造を証明し、それらを用いてβシフトのフロー同値性の分類および有限型再生系におけるBowen-Franks不変量の範囲を分析する。

ABSTRACT

The flow equivalence of sofic shifts is examined using results about the structure of the corresponding covers. A canonical cover generalising the left Fischer cover to arbitrary sofic shifts is introduced and used to prove that the left Krieger cover and the past set cover of a sofic shift can be divided into natural layers. These results are used to find the range of a flow invariant and to investigate the ideal structure of the universal C^*-algebras associated to sofic shifts. The right Fischer covers of sofic beta-shifts are constructed, and it is proved that the covering maps are always 2 to 1. This is used to construct the corresponding fiber product covers and to classify these up to flow equivalence. Additionally, the flow equivalence of renewal systems is studied, and several partial results are obtained in an attempt to find the range of the Bowen-Franks invariant over the set of renewal systems of finite type. In particular, it is shown that the Bowen-Franks group is cyclic for every member of a class of renewal systems known to attain all entropies realised by shifts of finite type.

研究の動機と目的

• soficシフトのフロー同値性を理解すること。これは、有限型シフトの自然な一般化である。
• 特に標準被覆を含む構造的ツールを構築し、soficシフトの被覆を分析する。
• soficβシフトの右フィッシャー被覆を分類し、それらのフロー同値性を特定すること。
• 有限型再生系におけるBowen-Franks不変量の範囲を調査すること。
• soficシフトに関連する普遍C*-代数のイデアル構造を調査すること。

提案手法

• 任意のsoficシフトに対して左フィッシャー被覆を一般化する標準被覆を導入する。
• 標準被覆を用いて、左Krieger被覆および過去集合被覆を自然な段階に分解する。
• 段階分解を用いて、フローインヴァリアントおよびC*-代数内のイデアルラティスを分析する。
• soficβシフトの右フィッシャー被覆を構成し、被覆写像が常に2対1であることを証明する。
• ファイバー積被覆を用いて、βシフトをフロー同値性の観点から分類する。
• 記号拡張技術および計算ツール（C++およびMaple）を用い、高次ブロックシフトおよび再生系の隣接行列を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 soficシフトの左Krieger被覆および過去集合被覆の構造は何か。また、それらは自然な段階に分解可能か。
• RQ2 標準被覆を用いて、フロー同値性不変量の範囲を特定するにはどうすればよいか。
• RQ3 soficβシフトのフロー同値類は何か。また、それらの右フィッシャー被覆はどのように振る舞うか。
• RQ4 有限型再生系のBowen-Franks群の構造は何か。非巡回となる可能性はあるか。
• RQ5 SFT再生系におけるBowen-Franks不変量の範囲は完全に特徴付け可能か。

主な発見

• 標準被覆は左フィッシャー被覆を一般化し、左Krieger被覆および過去集合被覆の自然な段階的分解を可能にする。
• soficβシフトの右フィッシャー被覆は常に2対1であり、ファイバー積被覆の構成を可能にする。
• ファイバー積被覆を用いて、soficβシフトはフロー同値性の観点で分類される。
• 有限型シフトのすべてのエントロピーを実現するクラスの再生系において、Bowen-Franks群は巡回群である。
• ベースリストの直和として構成される再生系は、非巡回なBowen-Franks群をもたらす可能性があり、例えば$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$のような群が得られる。
• 命題5.23に基づく計算ツールはSFT再生系を検出可能であるが、条件が十分であるが必要ではないため、制限を伴う。