[論文レビュー] On formality of Kahler orbifolds and Sasakian manifolds

Indranil Biswas, Marisa Fernández+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、コンpact Kähler軌道的多様体が形式的であることを証明し、Sasakian多様体に重要な位相的帰結をもたらす。単連結なSasakian多様体においてすべての高次Massey積が消えることを示し、これがSasakian構造の障害をもたらすことを証明し、n > 2 に対して次元 2n+1 の単連結で非形式的な正則Sasakian多様体の最初の例を、非消える三重Massey積を用いて構成する。

ABSTRACT

We prove that compact Kahler orbifolds are formal, and derive applications of it to the topology of compact Sasakian manifolds. In particular, answering questions raised by Boyer and Galicki, we prove that all higher Massey products on any simply connected Sasakian manifold vanish. Hence, higher Massey products do obstruct Sasakian structures. Using this we produce a method of constructing simply connected K-contact non-Sasakian manifolds. On the other hand, for every n>2 we exhibit the first examples of simply connected compact regular Sasakian manifolds of dimension 2n+1 which are non-formal. They are non-formal because they have a non-zero triple Massey product. We also prove that arithmetic lattices in some simple Lie groups cannot be the fundamental group of a compact Sasakian manifold.

研究の動機と目的

• コンpact Kähler軌道的多様体の形式性を確立し、それをSasakian幾何学に拡張する。
• BoyとGalickiが提起した、Massey積がSasakian構造に果たす役割に関する未解決問題を解消する。
• 形式性の障害を用いて、Sasakianではない単連結K-contact多様体を構成する。
• n > 2 に対して、非形式であることを示す最初の単連結コンパクト正則Sasakian多様体の例を、非消える三重Massey積によって構成する。
• 特定の単純Lie群における算術的格子が、コンパクトSasakian多様体の基本群として現れえないことを特定する。

提案手法

• 有理ホモトピー論における形式性の理論を用いて、コンパクトKähler軌道的多様体のコホモロジー環構造を分析する。
• Kähler軌道的多様体の形式性を応用し、コンパクトSasakian多様体のコホモロジーに制約を導く。
• 非消える三重Massey積の存在を形式性の障害として用い、n > 2 に対して奇数次元 2n+1 の非形式Sasakian多様体を構成する。
• 形式性がすべての高次Massey積の消滅を意味することを用いて、非消えるMassey積がSasakian構造の障害であることを示す。
• 単純Lie群における算術的格子と幾何的群論の結果を応用し、特定の群がコンパクトSasakian多様体の基本群として現れえないことを除外する。
• 複素幾何、接触位相幾何、有理ホモトピー論の技術を統合し、Kähler、Sasakian、K-contact構造の間の相互作用を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単連結なSasakian多様体において高次Massey積は消えるのか？ もし消えるならば、これは形式性を示唆するか、あるいはその構造の障害を示すのか？
• RQ2 n > 2 に対して、奇数次元 2n+1 における非形式なコンパクトSasakian多様体を構成できるか？ また、非形式性を検出するコホモロジー的不変量は何か？
• RQ3 Kähler軌道的多様体の形式性を用いて、Sasakianではない単連結K-contact多様体を構成できるか？
• RQ4 特定の単純Lie群における算術的格子は、どのくらいがコンパクトSasakian多様体の基本群として実現できないか？
• RQ5 Massey積はSasakian構造をどのように障害するのか？ また、Kähler軌道的多様体の文脈において、形式性とどのように関係するのか？

主な発見

• 任意の単連結Sasakian多様体において、すべての高次Massey積が消える。これは、このような積がSasakian構造の障害をもたらすことを確認する。
• n > 2 に対して、次元 2n+1 の単連結コンパクト正則Sasakian多様体の最初の例が、非ゼロの三重Massey積により非形式であることを示す。
• Massey積による形式性の障害を活用して、Sasakianではない単連結K-contact多様体を構成する手法が提供される。
• 特定の単純Lie群における算術的格子は、コホモロジー的障害を用いて、いかなるコンパクトSasakian多様体の基本群にもなりえないことが示された。
• コンパクトKähler軌道的多様体が形式的であることが証明され、滑らかなKähler多様体に対する形式性の結果が軌道的設定に拡張された。
• 三重Massey積の非消えることは、非形式Sasakian多様体と形式的多様体を明確に区別する決定的不変量である。