[論文レビュー] On fractional powers of Bessel operators

Elina Shishkina, С. М. Ситник|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2017

Differential Equations and Boundary Problems被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、ハンケル変換やメリン変換などの積分変換に依存せずに、ベッセル微分作用素 $ B_{\nu} = D^2 + \frac{\nu}{x}D $ の分数階の冪について明示的な積分表現を導入する。群構造、超幾何関数を用いた一般化されたテイラー公式、およびライツト関数やミタグ・レフラー関数との関係といった重要な性質を確立し、分数階微積分および偏微分方程式へのさらなる一般化の基盤を提供する。

ABSTRACT

This paper was published in the special issue of the Journal of Inequalities and Special Functions dedicated to Professor Ivan Dimovski's contributions to different fields of mathematics: transmutation theory, special functions, integral transforms, function theory etc. In this paper we study fractional powers of the Bessel differential operator. The fractional powers are defined explicitly in the integral form without use of integral transforms in its definitions. Some general properties of the fractional powers of the Bessel differential operator are proved and some are listed. Among them are different variations of definitions, relations with the Mellin and Hankel transforms, group property, generalized Taylor formula with Bessel operators, evaluation of resolvent integral operator in terms of the Wright or generalized Mittag--Leffler functions. At the end, some topics are indicated for further study and possible generalizations. Also the aim of the paper is to attract attention and give references to not widely known results on fractional powers of the Bessel differential operator.

研究の動機と目的

• ハンケル変換に依存する暗黙的定義の制限を克服するために、ベッセル微分作用素 $ B_{\nu} $ の分数階冪について、変換に依存しない明示的積分定義を提供すること。
• 標準的な表記と明示的な積分形を組み合わせることで、既存の分数階微積分フレームワークを統合・拡張すること。
• 群構造、ライツト関数およびミタグ・レフラー関数によるリゾルベントの評価、一般化されたテイラー展開といった基礎的性質を確立すること。
• 軽視されがちな結果を強調し、分数階ベッセル作用素およびその応用分野におけるさらなる研究を促進する包括的な参考文献を提供すること。
• 明示的なカーネル表現を通じて、偏微分方程式、変換理論、可換微分作用素への新規応用を可能にすること。

提案手法

• ガウス超幾何関数 $ {}_2F_1 $ をカーネルとして用い、右および左片側の分数階ベッセル積分 $ B_{\nu,b-}^{-\alpha} $ および $ B_{\nu,a+}^{-\alpha} $ を定義する。
• $ \alpha > 0 $ に対して、形式 $ \frac{1}{\Gamma(2\alpha)} \int_{x}^{b} \left( \frac{y^2 - x^2}{2y} \right)^{2\alpha-1} {}_2F_1(\cdots) f(y) \, dy $ を用いて、$ B_{\nu} $ の分数階冪の明示的積分作用素を構築する。
• 文献 [7] および [13]–[14] の既知の積分表現を活用し、古典的分数階微積分表記と定義を統合する。
• 境界点における $ B^{i-1}f $ および $ DB^{i-1}f $ の評価を用いて、関数展開を一般化されたテイラー公式として構築し、剰余項を分数階積分として表現する。
• 積分カーネル解析を通じて、リゾルベント作用素とライツト関数および一般化されたミタグ・レフラー関数との関係を確立する。
• クライフ・タイプのベッセル作用素 $ C_\nu $ などの関連作用素へ結果を拡張し、変換理論および可換微分作用素との関連について議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベッセル作用素 $ B_{\nu} $ の分数階冪を、積分変換に依存せずに明示的に定義する方法は何か？
• RQ2 $ B_{\nu} $ の分数階冪が満たす群構造および構造的恒等式は何か？
• RQ3 微分の代わりにベッセル作用素を用いた一般化されたテイラー展開を、分数階積分の剰余項を含めてどのように構築できるか？
• RQ4 $ B_{\nu} $ のリゾルベントとライツト関数や一般化されたミタグ・レフラー関数といった特殊関数との関係は何か？
• RQ5 明示的な分数階ベッセル作用素を、高階または混合型微分作用素へどのように一般化できるか。また、それらは既存の分数階偏微分方程式とどのように関係するか？

主な発見

• ベッセル作用素 $ B_{\nu} $ の分数階冪は、ガウス超幾何関数をカーネルとする積分核を用いて明示的に定義され、ハンケル変換やメリン変換への依存を回避する。
• 一般化されたテイラー公式（定理 8.1）は、関数を境界点におけるベッセル作用素の作用の有限和として表現し、剰余項として $ B_{\nu,b-}^{-k}(B^k f) $ を含む。係数は超幾何関数で表される。
• クライフ型ベッセル作用素 $ C_\nu $ に対しても、同様の一般化されたテイラー公式（定理 8.2）が導出され、$ x^{-\nu} $ や微分を含む追加項が含まれる。
• $ B_{\nu} $ のリゾルベントは、ライツト関数または一般化されたミタグ・レフラー関数で評価され、分数階微積分における特殊関数との直接的な関連を確立する。
• $ \nu = 1 $ の場合、カーネルは古典的ルジャンドル関数に簡略化され、$ \alpha = -\frac{1}{2} $ のとき、分数階冪は一般化された楕円関数を生成し、ベッセル・ライズ変換の明示的定義が可能になる。
• 本フレームワークにより、分数階ベッセル作用素の和、楕円型、双曲型、超双曲型設定における B–ライズ・ポテンシャルへの一般化が可能となり、量子力学における新しいクラスの変換作用素および可換微分作用素を支持する。