[論文レビュー] On Fractional Schrodinger Equations in sobolev spaces

Younghun Hong, Yannick Sire|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Strichartz推定と関数不等式を用いて、Sobolev空間 $ H^s $ における分数階非線形シュレーディンガー方程式の局所的well-posednessおよびill-posednessを確立する。well-posednessは $ s \geq \max(s_c, s_g, 0) $ で成立し、ここで $ s_c = \frac{d}{2} - \frac{2\sigma}{p-1} $ および $ s_g = \frac{1-\sigma}{2} $ である。また、$ s \in (s_c, 0) $ における $ H^s $ でのill-posednessは、擬似ガリレオ不変性を新規に用いて反例を構成することで示される。

ABSTRACT

Let $σ\in(0,1)$ with $σ eq\frac{1}{2}$. We investigate the fractional nonlinear Schrödinger equation in $\mathbb R^d$: $$i\partial_tu+(-Δ)^σu+μ|u|^{p-1}u=0,\, u(0)=u_0\in H^s,$$ where $(-Δ)^σ$ is the Fourier multiplier of symbol $|ξ|^{2σ}$, and $μ=\pm 1$. This model has been introduced by Laskin in quantum physics \cite{laskin}. We establish local well-posedness and ill-posedness in Sobolev spaces for power-type nonlinearities.

研究の動機と目的

• 分数階非線形シュレーディンガー方程式の $ \mathbb{R}^d $ 上での $ \sigma \in (0,1) \setminus \{\frac{1}{2}\} $ における包括的なwell-posednessおよびill-posedness理論を構築すること。
• Bourgain空間に依存せずに、分数階ラプラシアンに対するStrichartz推定における微分の損失を克服する挑戦に取り組むこと。
• 臨界および亜臨界の場合の $ H^s $ における局所的well-posednessを確立し、臨界領域における小データ散乱を示すこと。
• $ s \in (s_c, 0) $ における $ H^s $ でのill-posednessを証明し、スケーリング臨界閾値を越えて連続性の破綻が生じることを拡張すること。
• ill-posednessの反例を構成するために「擬似ガリレオ不変性」を導入・応用し、$ \sigma \neq 1 $ のときの正確なガリレオ対称性の欠如を克服すること。

提案手法

• Bourgain空間を避けて、$ \mathbb{R}^d $ における標準的なStrichartz推定と関数不等式を用いる。
• 二つの臨界指数を導入する：$ s_c = \frac{d}{2} - \frac{2\sigma}{p-1} $（スケーリング臨界）、$ s_g = \frac{1-\sigma}{2} $（擬似ガリレオ臨界）。
• [CKS+08]からの推定の改善を図る新たな方法を用いて、非線形項を適切な関数空間で制御し、Strichartz推定における微分の損失を相殺する。
• 擬似ガリレオ変換に基づく分解消去補題を用いて、$ H^s $-ノルムが小さいが時間とともに解の発散が著しい初期データを構成する。
• $ H^k $ における摂動の時間発展を制御するための非線形反復法を用い、$ O(\nu^\delta) $ の誤差項を組み込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの正則性指数 $ s $ に対して、分数階NLSは $ H^s $ で局所的にwell-posedであるか？
• RQ2 ill-posednessの鋭い閾値は何か？ また、$ s_c $ および $ s_g $ とどのように関係しているか？
• RQ3 $ \sigma \neq 1 $ のとき正確なガリレオ不変性が欠如する場合、well-posedness理論にどのような影響を与えるか？
• RQ4 スケーリング臨界領域において小データ散乱を確立できるか？ また、$ p $ および $ d $ にどのような条件下で成立するか？
• RQ5 Strichartz推定における微分の損失がwell-posedness理論に及ぼす制限はどの程度か？ そして、どのように克服できるか？

主な発見

• 局所的well-posednessは $ s \geq \max(s_c, s_g, 0) $ で成立し、ここで $ s_c = \frac{d}{2} - \frac{2\sigma}{p-1} $ および $ s_g = \frac{1-\sigma}{2} $ である。
• 臨界領域では小データ散乱が確立された：$ d = 1 $ のとき $ p > 5 $、$ d \geq 2 $ のとき $ p > 3 $ であり、$ \|u_0\|_{H^{s_c}} < \delta $（$ \delta > 0 $）を満たす。
• $ s \in (s_c, 0) $ における $ H^s $ でのill-posednessは、$ d $, $ \sigma $, $ p $ に関する条件下で証明された。特に $ \sigma > \frac{d}{4} $ および $ p \geq k+1 $（$ p $ が整数でない場合）を含む。
• ill-posednessの証明は、方程式の対称性ではないが発散を生成するのに十分な「擬似ガリレオ変換」に基づく分解消去補題に依存している。
• 反例の構成により、$ H^s $-ノルムが任意に小さい解でも有限時間で発散することが示され、$ s \in (s_c, 0) $ における連続性の破綻が成立することが裏付けられた。
• ill-posednessの結果は最適ではない。$ s_g = \frac{1-\sigma}{2} $ までwell-posednessの失敗が予想されるが、これは未解決の問題のままである。