[論文レビュー] On fully decoupled MSAV schemes for the Cahn-Hilliard-Navier-Stokes model of Two-Phase Incompressible Flows

Xiaoli Li, Jie Shen|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2020

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、複数のスカラーヘルプ変数（MSAV）アプローチと圧力補正を用いて、Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系のための、完全に分離可能で線形的かつ無条件エネルギー安定な時間積分スキーム（一次および二次）を提案する。これらのスキームは最適収束性を示し、最適誤差推定値を伴い、各時間ステップで定数係数をもつ楕円型方程式のみを解く必要があることが証明されている。

ABSTRACT

We construct first- and second-order time discretization schemes for the Cahn-Hilliard-Navier-Stokes system based on the multiple scalar auxiliary variables approach (MSAV) approach for gradient systems and (rotational) pressure-correction for Navier-Stokes equations. These schemes are linear, fully decoupled, unconditionally energy stable, and only require solving a sequence of elliptic equations with constant coefficients at each time step. We carry out a rigorous error analysis for the first-order scheme, establishing optimal convergence rate for all relevant functions in different norms. We also provide numerical experiments to verify our theoretical results.

研究の動機と目的

• Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系の時間積分スキームを、無条件エネルギー安定性、線形性、完全な分離可能性を満たすように開発すること。
• 既存手法における凸分割法（非線形性の問題）および安定化線形スキーム（精度と安定性の問題）の制限を克服すること。
• 一次スキームに対して厳密な誤差推定値を確立し、関連するノルムにおいて最適収束率を達成すること。
• 各時間ステップで定数係数をもつ楕円型方程式のみを解くようにスキームを設計し、計算を効率化すること。

提案手法

• 勾配系を再定式化するために、複数のスカラーヘルプ変数（MSAV）アプローチを採用し、線形的かつエネルギー安定なスキームを達成する。
• ナビエ-ストークス方程式に対してMSAVフレームワークと回転圧力補正を統合し、速度と圧力の更新を分離する。
• 完全に分離可能で線形的かつ無条件エネルギー安定な一次および二次時間積分スキームを構築する。
• 非線形な化学ポテンシャル項および相場変数項を明示的に扱うためにMSAVアプローチを用い、非線形方程式の反復解法を回避する。
• 各時間ステップにおけるすべての線形系が定数係数作用素を含むように保証し、効率的な反復解法を可能にする。
• 離散グロウォール補題とエネルギー推定値を用いて、収束誤差バウンドを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系に対して、完全に分離可能で線形的かつ無条件エネルギー安定な時間積分スキームを構築することは可能か？
• RQ2 提案されたMSAVに基づくスキームは、すべての解成分について最適収束率を達成するか？
• RQ3 非線形方程式の反復解法を回避しながらも、無条件エネルギー安定性と高次精度を維持することは可能か？
• RQ4 元の系に非線形結合があるにもかかわらず、このようなスキームに対して厳密な誤差推定値を導出することは可能か？
• RQ5 本スキームにおける定数係数楕円型方程式の解法が、計算効率および安定性に与える影響は何か？

主な発見

• 一次MSAVスキームは、速度、圧力、相関数、化学ポテンシャルのすべての変数について、$L^2$および$H^1$ノルムで最適収束率を達成する。
• スキームは無条件エネルギー安定であり、離散エネルギーが各時間ステップで散逸し、連続系のエネルギー法則と一致する。
• 二次スキームも完全に分離可能で無条件エネルギー安定であり、より高次精度への拡張が可能である。
• 各時間ステップにおけるすべての線形系が定数係数楕円型作用素のみを含み、高速解法による効率的解法が可能である。
• 誤差解析により、一次スキームの適切なノルムにおける最適誤差バウンド$O( au)$が確立された。
• 数値実験により理論的収束率とエネルギー安定性が確認され、理論的主張の妥当性が検証された。