[論文レビュー] On fundamental groups of tensor product $ m II_1$ factors

Yusuke Isono|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 30被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、任意の $ \mathbb{R}^*_+ $ の部分群 $ G \leq \mathbb{R}^*_+ $ で、$ \rm II_1 $ 因子の基本群として実現可能なものの、すべての $ \rm II_1 $ 因子 $ B $ に対して $ \mathcal{F}(M \overline{\otimes} B) = \mathcal{F}(M)\mathcal{F}(B) $ を満たす $ \rm II_1 $ 因子 $ M $ が存在することを確立している。このことは、$ \rm II_1 $ 因子の基本群のクラスが群の積および共通部分集合に関して閉じていることを示している。

ABSTRACT

Let $M$ be a $ m II_1$ factor and let $\mathcal{F}(M)$ denote the fundamental group of $M$. In this article, we study the following property of $M$: for arbitrary $ m II_1$ factor $B$, we have $\mathcal{F}(M \overline{\otimes} B)=\mathcal{F}(M)\mathcal{F}(B)$. We prove that for any subgroup $G\leq \mathbb{R}^*_+$ which is realized as a fundamental group of a $ m II_1$ factor, there exists a $ m II_1$ factor $M$ which satisfies this property and whose fundamental group is $G$. Using this, we deduce that if $G,H \leq \mathbb{R}^*_+$ are realized as fundamental groups of $ m II_1$ factors (with separable predual), then so are groups $G \cdot H$ and $G \cap H$.

研究の動機と目的

• テンソル積 $ \rm II_1 $ 因子の基本群の構造を調査すること。
• すべての $ \rm II_1 $ 因子 $ B $ に対して $ \mathcal{F}(M_1 \overline{\otimes} M_2) = \mathcal{F}(M_1)\mathcal{F}(M_2) $ が成り立つかどうかを特定すること。
• すべての $ \rm II_1 $ 因子 $ B $ に対して $ \mathcal{F}(M \overline{\otimes} B) = \mathcal{F}(M)\mathcal{F}(B) $ を満たす $ \rm II_1 $ 因子 $ M $ を構成すること（基本群のテンソル分解性と呼ばれる性質（TFF））。
• すべての $ \rm II_1 $ 因子の基本群のクラスが積および共通部分集合に関して閉じていることを示すこと。
• 変形／剛性理論と拡張理論を用いて、既知の結果を拡張すること。

提案手法

• すべての $ \rm II_1 $ 因子 $ B $ に対して $ \mathcal{F}(M \overline{\otimes} B) = \mathcal{F}(M)\mathcal{F}(B) $ を満たす基本群のテンソル分解性（TFF）を導入し、その性質を研究すること。
• 特にオザワとポーパが開発した変形／剛性理論的手法を用いて、テンソル積の構造を分析すること。
• ICC、非可換、弱可換、双指数的であるような群のための群 $ \rm II_1 $ 因子 $ L\Gamma $ を用いて、指定された基本群をもつ $ \rm II_1 $ 因子の例を構成すること。
• $ \rm II_1 $ 因子の自由積とその基本群に関する結果を適用すること。
• 拡張理論を活用する：$ t = \tau(p)n $ に対して $ M^t \simeq pMp \overline{\otimes} \mathbb{M}_n $ であり、恒等式 $ (M_1 \overline{\otimes} M_2)^{st} \simeq M_1^s \overline{\otimes} M_2^t $ が成り立つこと。
• 等長同型類と基本群の要素との関係を示すために、$ \mathcal{F}(M) = \{ t \in \mathbb{R}^*_+ \mid M \simeq M^t \} $ であるという事実を用いること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $ \rm II_1 $ 因子 $ M $ に対して、すべての $ \rm II_1 $ 因子 $ B $ に対して $ \mathcal{F}(M \overline{\otimes} B) = \mathcal{F}(M)\mathcal{F}(B) $ が成り立つか。
• RQ2 すべての $ \mathbb{R}^*_+ $ の部分群 $ G \leq \mathbb{R}^*_+ $ で、$ \rm II_1 $ 因子の基本群として実現可能なものが、テンソル分解性を満たす $ \rm II_1 $ 因子の基本群として実現可能か。
• RQ3 $ \rm II_1 $ 因子の基本群のクラスが群の積および共通部分集合に関して閉じているか。
• RQ4 どのような構造的性質（例：弱可換性、双指数的性質）が $ \rm II_1 $ 因子がテンソル分解性を満たすことを保証するか。
• RQ5 変形／剛性理論的手法が、テンソル積における基本群の恒等式を証明するためにどのように拡張可能か。

主な発見

• 任意の $ \mathbb{R}^*_+ $ の部分群 $ G \leq \mathbb{R}^*_+ $ で、$ \rm II_1 $ 因子の基本群として実現可能なものの、すべての $ \rm II_1 $ 因子 $ B $ に対して $ \mathcal{F}(M \overline{\otimes} B) = \mathcal{F}(M)\mathcal{F}(B) $ を満たす $ \rm II_1 $ 因子 $ M $ が存在する。
• $ \rm II_1 $ 因子の基本群として現れる $ \mathbb{R}^*_+ $ の部分群のクラス $ \mathcal{S}_{\rm factor} $ は、積に関して閉じている：$ G, H \in \mathcal{S}_{\rm factor} $ ならば $ G \cdot H \in \mathcal{S}_{\rm factor} $ である。
• $ \mathcal{S}_{\rm factor} $ は共通部分集合に対しても閉じている：$ G, H \in \mathcal{S}_{\rm factor} $ ならば $ G \cap H \in \mathcal{S}_{\rm factor} $ である。
• テンソル分解性（TFF）を満たす $ \rm II_1 $ 因子の例として、ICC、非可換、弱可換、双指数的であるような群のための群 $ \rm II_1 $ 因子 $ L\Gamma $ がある。
• 自由積 $ M_1 * M_2 $ であっても、$ \rm II_1 $ 因子が TFF を満たす場合、その自由積も TFF を満たす。
• この結果により、このような $ M $ に対して、テンソル積 $ M \overline{\otimes} B $ の基本群が正確に $ \mathcal{F}(M) \cdot \mathcal{F}(B) $ に一致することが確認され、オザワ–ポーパの結果が任意の $ B $ にまで拡張された。