[論文レビュー] On general construct of chaotic unbounded linear operators in Banach Spaces with Schauder Bases

Marat V. Markin|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2018

Holomorphic and Operator Theory参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Schauder基底を備えたバナッハ空間における非有界な線形作用素の一般構成を提示する。これはロールヴィッチの重み付き後退シフトを無限次元設定に拡張したものである。重み列 $ \{w_n\} $ が特定の減衰条件を満たす指数的重みを用いて重み付き後退シフト作用素を定義することで、著者らはその作用素が超循環的かつカオス的であることを証明した。これは $ l_p $ および $ c_0 $ 空間における先行研究を、任意のSchauder基底を備えたバナッハ空間へ一般化するものである。

ABSTRACT

We utilize the idea underlying the construct of the classical weighted backward shift Rolewicz's operators to furnish a straightforward approach to a general construct of chaotic unbounded linear operators in a (real or complex) Banach space with a Schauder basis.

研究の動機と目的

• バナッハ空間における有界作用素から非有界作用素への超循環性およびカオス性の理論を拡張すること。
• ロールヴィッチの古典的重み付き後退シフト例を、一般のSchauder基底を備えたバナッハ空間における非有界作用素へ一般化すること。
• このような非有界作用素が超循環的かつカオス的であるための十分条件を確立すること。
• 周期的点の集合が空間において稠密であることを示し、カオス性を確認すること。
• 既存の $ l_p $ および $ c_0 $ 空間における超循環的・カオス的作用素に関する結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• Schauder基底を備えたバナッハ空間 $ X $ において、$ |w_n| > 1 $ かつ $ \sum_{n=1}^\infty |w_n|^{-1} < \infty $ を満たす重み列 $ \{w_n\} $ を用いて、重み付き後退シフト作用素 $ A $ を定義する。
• 作用素を $ Ax = (w_k x_{k+1})_{k\in\mathbb{N}} $ で定義し、定義域を $ D(A) = \{ x \in X \mid (w_k x_{k+1}) \in X \} $ と設定する。
• Schauder展開の収束性と $ |w_n|^{-1} $ の減衰性を用いて、適切に選ばれたベクトルの軌道が $ X $ において稠密であることを保証する。
• 特定のベクトル $ x \in C^\infty(A) $ の軌道が、級数の尾の見積もりを用いて稠密であることを示すことにより、超循環性を証明する。
• 任意の周期 $ N $ に対する周期的点を構成し、可算な稠密部分集合 $ Y $ からの近似を用いて、その集合が $ X $ において稠密であることを示すことにより、カオス性を示す。
• 作用素 $ A^n $ の閉性とSchauder基底の構造を活用して、$ x \in D(A^n) $ かつ $ A^n x \to x $ をノルムで示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界作用素における古典的超循環的重み付き後退シフトの構成を、任意のSchauder基底を備えたバナッハ空間における非有界作用素へ一般化できるか？
• RQ2 重み列にどのような条件を課すと、このような空間における非有界作用素が超循環的かつカオス的になるか？
• RQ3 Schauder基底を備えたバナッハ空間において、$ l_p $ や $ c_0 $ に同相でない非有界なカオス的作用素を構成することは可能か？
• RQ4 この一般的設定において、非有界作用素の周期的点の稠密性はどのように確立できるか？
• RQ5 指数的重み列 $ w_n = \lambda^n $（$ |\lambda| > 1 $）は、任意のSchauder基底を備えたバナッハ空間においてカオス的非有界作用素を生成するか？

主な発見

• 重み列が $ \sum_{n=1}^\infty |w_n|^{-1} < \infty $ かつ $ |w_n| > 1 $ を満たす限り、任意のSchauder基底を備えたバナッハ空間において、構成された非有界重み付き後退シフト作用素は超循環的である。
• 周期的点の集合がバナッハ空間において稠密であることから、作用素はカオス的である。これは、可算な稠密部分集合 $ Y $ に属する任意のベクトルを、周期が増加する周期的点で近似することで確立される。
• 指数的重み $ w_n = \lambda^n $（$ |\lambda| > 1 $）に対して、作用素 $ Ax = (\lambda^k x_{k+1})_{k\in\mathbb{N}} $ は $ l_p $（$ 1 \leq p < \infty $）および $ c_0 $ においてカオス的であり、先行研究の定理1.1を回復・強化する。
• Schauder基底と重み列を用いて構成されたベクトル $ x \in C^\infty(A) $ により、軌道 $ \{A^n x\}_{n\in\mathbb{Z}_+} $ が $ X $ において稠密であることが保証され、超循環性が証明される。
• 証明は級数 $ \sum_{j=m+1}^\infty B^{n_j - n_m} y^{(j)} $ の尾の見積もりに依拠しており、$ m \to \infty $ のときその尾が収束し、0に近づくことを示す。これにより軌道の稠密性が導かれる。
• この構成は一般性を備えており、$ L_p(a,b) $、$ C[a,b] $、$ l_p $、$ c_0 $、$ c $ などを含む、すべての分離可能なSchauder基底を備えたバナッハ空間に適用可能であり、広範な適用可能性を示している。