[論文レビュー] On Graphs Representable by Pattern-Avoiding Words

Yelena Mandelshtam|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2016

semigroups and automata theory参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、パターン回避語で表現可能なグラフ、特に123および132-表現可能なグラフに焦点を当てている。132-表現可能なグラフが円グラフの真部分集合であることを証明し、同様に123-表現可能なグラフも円グラフの真部分集合であることが示され、132-表現可能なグラフとは異なるクラスである。また、木と完全グラフの2一様パターン回避語表現についても特徴づけている。

ABSTRACT

In this paper we study graphs defined by pattern-avoiding words. Word-representable graphs have been studied extensively following their introduction in 2000 and are the subject of a book published by Kitaev in 2015. Recently there has been interest in studying graphs represented by pattern-avoiding words. In particular, in 2016, Gao, Kitaev, and Zhang investigated 132-representable graphs, that is, word-representable graphs that can be represented by a word which avoids the pattern 132. They proved that all 132- representable graphs are circle graphs and provided examples and properties of 132-representable graphs. They posed several questions, some of which we answer in this paper. One of our main results is that not all circle graphs are 132-representable, thus proving that 132-representable graphs are a proper subset of circle graphs, a question that was left open in the paper by Gao et al. We show that 123-representable graphs are also a proper subset of circle graphs, and are different from 132-representable graphs. We also study graphs represented by pattern-avoiding 2-uniform words, that is, words in which every letter appears exactly twice.

研究の動機と目的

• 132-表現可能なグラフと円グラフの関係について未解決の問題を解消すること。
• 123-表現可能なグラフが円グラフの真部分集合であるかどうかを特定し、132-表現可能なグラフとその関係を明らかにすること。
• 123および132のパターンを回避する2一様語によって表現可能なグラフを特徴づけること。
• 123および132のパターンに対する最小の非表現可能例を特定すること。
• パターン回避語表現における頂点ラベルの役割を明確にすること。

提案手法

• 順序同型および弦の交差性の性質を用いて、任意の132-表現可能なグラフが円グラフであることを証明した。
• 再帰的構成を用いて、すべての木が2一様132回避語によって132-表現可能であることを示した。
• 文字の順序に関する背理法を用いて、n > 3 の完全グラフ Kₙ が2一様語によって132-表現不可能であることを示した。
• パスおよび完全グラフに対して2一様123回避語を構成し、これらのクラスが123-表現可能であることを示した。
• 2つのK₄グラフの直和を反例として用い、すべての円グラフが132-表現可能でないことを示した。
• 定理2.9（語表現可能性と2一様性）を適用して、2一様132回避語と円グラフを結びつけた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのK₄グラフの直和は最小の非132-表現可能な円グラフか？
• RQ2 7頂点のスターダイアグラムは最小の非123-表現可能な円グラフか？
• RQ3 すべての123-表現可能なグラフは円グラフの真部分集合か？
• RQ4 123-表現可能グラフと132-表現可能グラフは異なるクラスか？
• RQ5 どのグラフが123または132のパターンを回避する2一様語によって表現可能か？

主な発見

• すべての円グラフが132-表現可能でないことが証明され、132-表現可能なグラフが円グラフの真部分集合であることが示された。
• 2つのK₄グラフの直和は円グラフではあるが132-表現可能でないため、最小の反例として機能する。
• 再帰的構成により、すべての木が2一様132回避語によって132-表現可能である。
• すべての完全グラフ Kₙ は、語 n(n−1)⋯1n(n−1)⋯1 を用いて2一様123回避語によって123-表現可能である。
• n > 3 の完全グラフ Kₙ は2一様語によって132-表現不可能であることが、文字の順序に関する背理法で示された。
• 123-も132-も表現不可能な円グラフが存在する。具体的には、特定の7頂点のスターダイアグラムに類似した構造がその例である。