[論文レビュー] On graphs with equal total domination and Grundy total domination number

Tanja Gologranc, Marko Jakovac+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、全単体支配数（$ olimits\gamma_t$）とグランディ全単体支配数（$ olimits\gamma_{gr}^t$）が等しい二部グラフを特徴づけ、$ olimits\gamma_t = \gamma_{gr}^t = 4$ であるようなグラフが二部グラフクラスにおいて完全に特徴づけられることを証明している。一方、$ olimits\gamma_t = \gamma_{gr}^t = 6$ であるようなグラフが存在するのは、特定の有限射影平面または直交ラテン平方が存在する場合に限る。これにより、グラフにおける極値支配と古典的組合せ設計との間に深い関係が示された。

ABSTRACT

A sequence $(v_1,\ldots ,v_k)$ of vertices in a graph $G$ without isolated vertices is called a total dominating sequence if every vertex $v_i$ in the sequence totally dominates at least one vertex that was not totally dominated by $\{v_1,\ldots , v_{i-1}\}$ and $\{v_1,\ldots ,v_k\}$ is a total dominating set of $G$. The length of a shortest such sequence is the total domination number of G ($γ_t(G)$), while the length of a longest such sequence is the Grundy total domination number of $G$ ($γ_{gr}^t(G)$). In this paper we study graphs with equal total and Grundy total domination number. We characterize bipartite graphs with both total and Grundy total domination number equal to 4, and show that there is no connected chordal graph $G$ with $γ_t(G)=γ_{gr}^t(G)=4$. The main result of the paper is a characterization of regular bipartite graphs with $γ_t(G)=γ_{gr}^t(G)=6$ proved by establishing a surprising correspondence between existence of such graphs and a classical but still open problem of the existence of certain finite projective planes.

研究の動機と目的

• すべての連結二部グラフで $\gamma_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 4$ を満たすものについての特徴づけ。
• 連結弦的グラフで $\gamma_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 4$ を満たすものが存在しないことの証明。
• 正則二部グラフで $\gamma_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 6$ を満たすものの完全な特徴づけの確立。
• このような6正則二部グラフの存在が、有限射影平面または直交ラテン平方の存在と驚くべき同値であることを明らかにすること。
• 全単体支配数とグランディ全単体支配数の極値的等価性がもたらす構造的および組合せ的意味の探求。

提案手法

• 有限射影平面から導かれる直交配列を用いて、正則二部グラフの族を構成する。
• 頂点の順序付けによって全単体支配列を定義し、各新しい頂点が以前に支配されていなかった頂点を支配することを保証する。
• ハイパーグラフの双対性とマルチグラフ表現を用いて、二部グラフにおける支配列をモデル化する。
• すべての頂点タイプ $a_i$、$a_i'$、$b$、$b_j^i$ において次数が等しいことを確認することで、構成されたグラフの正則性を証明する。
• 任意の全単体支配集合およびグランディ列は、二部分割の各部から正確に3つの頂点を含む必要があることを確立する。
• 直交配列の性質を活用し、$B$ から選ばれた任意の2頂点が $A$ から1つの頂点を除きすべてを支配し、逆も同様であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの二部グラフが $\gamma_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 4$ を満たすか？
• RQ2 なぜ連結弦的グラフで $\gamma_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 4$ を満たすものが存在しないのか？
• RQ3 正則二部グラフで $\gamma_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 6$ を満たすものの構造的特徴づけは何か？
• RQ4 このようなグラフの存在は、有限射影平面または直交ラテン平方の存在とどのように関係しているか？
• RQ5 すべての連結で偽双子を含まないグラフで $\gamma_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 6$ を満たすものは、必ず正則二部グラフであるか？

主な発見

• すべての連結二部グラフで $\gamma_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 4$ を満たすものは完全に特徴づけられており、このようなグラフは存在する。
• 弦的グラフの構造的制約のため、$\gamma_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 4$ を満たす連結弦的グラフは存在しない。
• 正則二部グラフで $\gamma_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 6$ を満たすものは、$k=3$ のとき、$k-1$ 次の有限射影平面が存在する場合に限り存在する。
• このようなグラフの構成は、射影平面から導かれる直交配列に依存しており、正則性の度数は $n-k$ である。ここで $n$ は頂点数を表す。
• $k=3$ の場合、14頂点のグラフが一意（同型を除いて）に存在し、これは2次射影平面に一致する。
• グラフで $\gamma_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 6$ を満たすことは、$k-1$ 個の互いに直交する $k-1$ 次のラテン平方の完全な族の存在と同値である。