[論文レビュー] On graphs with no induced five-vertex path or paraglider

Shenwei Huang, T. Karthick|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、(P₅, パラグライダー)-自由なグラフが χ(G) ≤ ⌈3ω(G)/2⌉ を満たすことを確立し、このクラスにおける最初のタイトな χ-バインディング関数を証明した。この上限は、χ(G) = ⌈3ω(G)/2⌉ − 1 を達成する無限族のグラフによって、加法的定数の範囲で最適であることが示されており、クレブシュ・グラフの補グラフは等号を達成し、タイトさを示している。

ABSTRACT

Given two graphs $H_1$ and $H_2$, a graph is $(H_1,\,H_2)$-free if it contains no induced subgraph isomorphic to $H_1$ or $H_2$. For a positive integer $t$, $P_t$ is the chordless path on $t$ vertices. A paraglider is the graph that consists of a chorless cycle $C_4$ plus a vertex adjacent to three vertices of the $C_4$. In this paper, we study the structure of ($P_5$, paraglider)-free graphs, and show that every such graph $G$ satisfies $χ(G)\le \lceil \frac{3}{2}ω(G) ceil$, where $χ(G)$ and $ω(G)$ are the chromatic number and clique number of $G$, respectively. Our bound is attained by the complement of the Clebsch graph on 16 vertices. More strongly, we completely characterize all the ($P_5$, paraglider)-free graphs $G$ that satisfies $χ(G)> \frac{3}{2}ω(G)$. We also construct an infinite family of ($P_5$, paraglider)-free graphs such that every graph $G$ in the family has $χ(G)=\lceil \frac{3}{2}ω(G) ceil-1$. This shows that our upper bound is optimal up to an additive constant and that there is no $(\frac{3}{2}-ε)$-approximation algorithm to the chromatic number of ($P_5$, paraglider)-free graphs for any $ε>0$.

研究の動機と目的

• P₅ およびパラグライダーが誘導部分グラフとして禁止されるクラスにおける彩色数の挙動を特定すること。
• このクラスにおけるタイトな χ-バインディング関数を確立し、P₅-自由および関連するグラフクラスに対する既知の境界を改善すること。
• χ(G) ≤ 3ω(G)/2 を超えるすべての (P₅, パラグライダー)-自由グラフを特徴付けること。
• 無限族のグラフが χ(G) = ⌈3ω(G)/2⌉ − 1 を達成することを構成することで、境界の最適性を示すこと。
• このクラスにおける彩色数の (3/2 − ε)-近似アルゴリズムが存在しないことを示すこと。

提案手法

• 禁止部分グラフの特徴付けと分解技術を用いた (P₅, パラグライダー)-自由グラフの構造的解析。
• クリークカットセット、ユニバーサル頂点、および良い安定集合に基づく構造定理を応用し、問題をより小さなコンポONENTに還元すること。
• 例外クラス G に属さない部分グラフの既知の境界を活用した、グラフコンポONENTに対する帰納法の適用。
• α(Gₖ) = 2 かつ ω(Gₖ) = k+1 を満たす (P₅, パラグライダー)-自由グラフ Gₖ の無限族を構成し、境界のタイトネスをテストすること。
• 組合せ的議論とコンピュータ支援の検証により、補グラフおよび頂点削除版が χ(G) = ⌈3ω(G)/2⌉ を達成する唯一の誘導部分グラフであり、必要不可避な上限であることを確認すること。
• 例外クラス G に属するか否かを考慮した、グラフコンポONENTにおけるケース別解析による証明。クリーク数と彩色数に基づく境界を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 (P₅, パラグライダー)-自由なグラフにおける最もタイトな χ-バインディング関数は何か？
• RQ2 どの (P₅, パラグライダー)-自由グラフが χ(G) > 3ω(G)/2 を満たすか？
• RQ3 境界 χ(G) ≤ ⌈3ω(G)/2⌉ は改善可能か、それとも加法的定数の範囲で最適か？
• RQ4 χ(G) = ⌈3ω(G)/2⌉ − 1 を達成するグラフの存在は、彩色数の多項式時間近似における制限を示唆するか？
• RQ5 χ(G) = ⌈3ω(G)/2⌉ で等号を達成する (P₅, パラグライダー)-自由グラフは有限個か？

主な発見

• すべての (P₅, パラグライダー)-自由グラフ G に対して χ(G) ≤ ⌈3ω(G)/2⌉ が成り立ち、このクラスにおけるタイトな χ-バインディング関数が確立された。
• 16頂点のクレブシュ・グラフの補グラフは、χ(G) = ⌈3ω(G)/2⌉ を達成する極値例である。
• ω(Gₖ) = k+1 かつ χ(Gₖ) = ⌈3(k+1)/2⌉ − 1 を満たす (P₅, パラグライダー)-自由グラフ Gₖ の無限族が存在し、境界が加法的定数の範囲で最適であることを示している。
• ε > 0 に対して、(P₅, パラグライダー)-自由グラフの彩色数に対する (3/2 − ε)-近似アルゴリズムは存在しない。これは、χ(G) = ⌈3ω(G)/2⌉ − 1 を達成する無限族が存在するためである。
• χ(G) > 3ω(G)/2 を満たす唯一の (P₅, パラグライダー)-自由グラフは、ω(G) ≤ 5 を満たす例外クラス G に属するコンポONENTを含むものに限る。
• 任意の (P₅, パラグライダー)-自由グラフの彩色数は、そのコンポONENTの最大値によって抑えられ、非連結グラフに対しても境界は成立する。