[論文レビュー] Oscillator topologies on a paratopological group and related number invariants

Тарас Банах, Olexandr Ravsky|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2008

Advanced Topology and Set Theory参考文献 14被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、パラトポロジカル群における発振子トポロジーを導入し、発振度や可逆性といった関連する数値不変量を定義する。また、任意の3-発振するハウスドルフパラトポロジカル群が、より弱いハウスドルフ群トポロジーを備えることを証明し、SIN群や冪零群に対する既知の結果を拡張する。

ABSTRACT

We introduce and study oscillator topologies on paratopological groups and define certain related number invariants. As an application we prove that a Hausdorff paratopological group $G$ admits a weaker Hausdorff group topology provided $G$ is 3-oscillating. A paratopological group $G$ is 3-oscillating (resp. 2-oscillating) provided for any neighborhood $U$ of the unity $e$ of $G$ there is a neighborhood $V\subset G$ of $e$ such that $V^{-1}VV^{-1}\subset UU^{-1}U$ (resp. $V^{-1}V\subset UU^{-1}$). The class of 2-oscillating paratopological groups includes all collapsing, all nilpotent paratopological groups, all paratopological groups satisfying a positive law, all paratopological SIN-group and all saturated paratopological groups (the latter means that for any nonempty open set $U\subset G$ the set $U^{-1}$ has nonempty interior). We prove that each totally bounded paratopological group $G$ is countably cellular; moreover, every cardinal of uncountable cofinality is a precaliber of $G$. Also we give an example of a saturated paratopological group which is not isomorphic to its mirror paratopological group as well as an example of a 2-oscillating paratopological group whose mirror paratopological group is not 2-oscillating.

研究の動機と目的

• 正規ハウスドルフパラトポロジカル群がより弱いハウスドルフ群トポロジーを備えるかどうかという、I. グランの問いに応えること。
• 元のトポロジーと群反転トポロジーの中間構造としての発振子トポロジーを定義・研究すること。
• 発振度や可逆性といった数値不変量を導入・分析し、パラトポロジカル群の分類を行うこと。
• 特に3-発振群および2-発振群に対して、群反転がハウスドルフとなる十分条件を提供すること。
• 同型でない鏡群とは異なるパラトポロジカル群の例を構成すること、特に飽和群やLSIN群を含む。

提案手法

• 近傍の反復積とその逆元を用いて発振子トポロジーを定義する：$(\pm U)^n = U(\mp U)^{n-1}$ および $(\mp U)^n = U^{-1}(\pm U)^{n-1}$。
• 3-発振パラトポロジカル群の概念を、$n=3$ の場合に $V^{-1}VV^{-1} \subset UU^{-1}U$ を満たす条件として導入し、$n=2$ の場合に $V^{-1}V \subset UU^{-1}$ を満たす条件として導入する。
• 群反転 $G^\flat$ を、元のトポロジーより弱いかつ最も強い群トポロジーとして定義する。これは連続な準同型写像を用いた圏論的定義により定義される。
• $T$-フィルターと $\tau_\flat$ の内部的記述を用いて、反転トポロジーにおける $\flat$-閉集合および $\flat$-開集合を特徴付ける。
• 非自明な特徴をもつLie群（例：$\mathrm{Aff}^+(\mathbb{R})$）を用いて、Sorgenfrey型パラトポロジーを生成する例を構成する。
• 群 $G$ がすべての自己同型が内部的であり、かつ非開な核特徴を持つ場合、$G$ にSorgenfreyパラトポロジーを導入すると、その群は鏡群とは同型でない飽和群となることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の3-発振するハウスドルフパラトポロジカル群は、より弱いハウスドルフ群トポロジーを備えるか？
• RQ2 飽和群または2-発振群である場合でも、同型でない鏡群をもつパラトポロジカル群は存在するか？
• RQ3 発振子トポロジーを用いて、群反転がハウスドルフであるか、または有限発振度をもつ条件を特徴づけられるか？
• RQ4 任意の正規 $\flat$-分離パラトポロジカル群は、必ず $\flat$-正規であるか？
• RQ5 どの $n$ に対して、$\mathrm{osc}(G) = n$ を満たすパラトポロジカル群が存在するか？ また、このような群は明示的に構成可能か？

主な発見

• 3-発振するハウスドルフパラトポロジカル群は、より弱いハウスドルフ群トポロジーを備える。これは、グランの問いの特殊ケースに対する肯定的解答である。
• 2-発振パラトポロジカル群のクラスには、すべての崩壊群、冪零群、正の法則を満たす群、パラトポロジカルSIN群、および飽和群が含まれる。
• すべての完全有界パラトポロジカル群は可算セルラーであり、すべての非可算な正則基数で非可算な正則性を持つものは、そのような群の予備基準である。
• 飽和パラトポロジカル群（例：$\mathrm{Aff}^+(\mathbb{R})$ にSorgenfreyトポロジーを導入した場合）が存在し、その群は鏡パラトポロジカル群とは同型でない。
• 鏡群が2-発振でない2-発振パラトポロジカル群が存在し、2-発振性の非対称性を示している。
• パラトポロジカル群 $G$ がハウスドルフであっても、その群反転 $G^\flat$ がハウスドルフでないことがあるが、3-発振または2-発振の条件下ではこの問題は回避される。