[論文レビュー] On H-groups and their applications to topological homotopy groups

Ali Pakdaman, Hamid Torabi+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ホモトピー的可換性とホモトピー的逆元を持つH-群（H-群）の基礎的理論を構築し、抽象群論の概念をホモトピー圏へと拡張する。H-同型定理を確立し、準位相群構造を持つ商H-群を定義し、この枠組みを応用して、小さなループ空間では位相的基本群が非離散的であり、局所的にn連結な空間では離散的であることを示す。また、プロ位相的可換な距離化可能な位相的基本群をもつ空間の族（n-ハワイアンに類似した空間）を同定する。

ABSTRACT

This paper develops a basic theory of H-groups. We introduce a special quotient of H-groups and extend some algebraic constructions of topological groups to the category of H-groups and H-maps. We use these constructions to prove some advantages in topological homotopy groups. Also, we present a family of spaces that their topological fundamental groups are indiscrete topological group and find out a family of spaces whose topological fundamental group is a topological group.

研究の動機と目的

• H-群に対する抽象群論に類似した基礎的代数的理論を確立すること。
• 部分H-群、正規部分H-群、商の構成といった概念をホモトピー圏へと拡張すること。
• 発展させたH-群理論を用いて、位相的ホモトピー群の位相的性質を分析すること。
• 位相的ホモトピー群が離散的または非離散的となる条件を同定すること。
• 位相的基本群が位相群（特に、プロ位相的可換な距離化可能な群）であるような空間の族を構成すること。

提案手法

• ホモトピー論的構成を用いて、陪集合、正規部分H-群、および商H-群を定義する。
• H-準同型およびH-同型を定義し、核と中心の構成を用いてH-同型定理を確立する。
• 商H-群に位相を入れ、それらが準位相群となるようにし、位相的解析を可能にする。
• 理論をループ空間および反復ループ空間に適用し、特に$ abla^n(X,x)$におけるコンパクト開位相を用いる。
• 0-半局所的に単連結な空間および局所的にn連結な性質を用いて、$ abla_n^{top}(X,x)$の位相を分析する。
• n-ハワイアンに類似した空間（n連結で局所的にn連結なコンパクトCW複体のワッセッド和の逆極限）を用い、プロ位相的可換な距離化可能な位相的基本群をもつ例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的n番目のホモトピー群$ abla_n^{top}(X,x)$が離散的となる条件は何か？
• RQ2 位相的基本群$ abla_1^{top}(X,x)$が非離散的となるのはいつか？ そして、その原因となるXの位相的性質は何か？
• RQ3 H-群の理論を拡張して、抽象群論における同型定理に類似した定理を得られるか？
• RQ4 どのような空間の族が、その位相的基本群自身が位相群であるか？
• RQ5 局所的連結性と半局所的に単連結性は、$ abla_n^{top}(X,x)$の離散性とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の小さなループ空間の位相的基本群は非離散的である。これは、ループ空間内の基本開近傍を用いた背理法によって証明された。
• 任意の局所的にn連結な空間$X$に対して、位相的n番目のホモトピー群$ abla_n^{top}(X,x)$は、距離性を仮定しなくても離散的である。
• n-ハワイアンに類似した空間$X$（$n > 1$）の位相的基本群は、プロ位相的可換な距離化可能な位相群であり、$ abla_1^{top}( abla^{n-1}(X,x), e_x)$として実現される。
• 局所的に(n-1)連結な空間に対して、$ abla_n^{top}(X,x)$が離散的であることと、$X$がn-半局所的に単連結であることとは同値である。
• 局所的にn連結な空間$X$のループ空間$ abla(X,x)$は、局所的に(n-1)連結である。これは、$ abla^n(X,x)$が局所的に路連結であり、したがってその路成分空間が離散的であることを意味する。
• n-ハワイアンに類似した空間のループ空間の位相的基本群は位相群であり、具体的にはプロ位相的可換な距離化可能な群である。