[論文レビュー] On Hadamard's global inverse function theorem (On global inversion of homogeneous maps)

Michael Ruzhansky, Mitsuru Sugimoto|arXiv (Cornell University)|May 25, 2013

Mathematics and Applications参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ℝⁿ 上の正に斉次な写像に対して、グローバル逆関数定理を確立する。非消滅ヤコビアンおよび連続性の条件下で、このような写像は ℝⁿ∖{0} でグローバルに可逆であり、その逆写像はホルダー連続であることを証明する。主な結果は、原点における特異点を許容するハダマールのグローバル逆関数定理への拡張であり、κ > 0 の順序をもつ斉次写像は原点を除いてグローバルに Cᵏ-微分同相写像であり、f(0) = 0 のとき ℝⁿ 上にグローバルなホメオモーティズムに拡張可能であることを示している。

ABSTRACT

Hadamard's global inverse theorem provides conditions for a function to be globally invertible on Rn. In this note we show that the conditions are robust enough for the conclusion to hold even if we relax the conditions by removing the assumption at a finite number of points. As a consequence, we get a global inverse function theorem for homogeneous functions.

研究の動機と目的

• 原点で特異である正に斉次な写像 f: ℝⁿ∖{0} → ℝⁿ に対するグローバル逆関数定理を確立すること。
• 原点での滑らかさの欠如を許容する写像に、ハダマールのグローバル逆関数定理を拡張すること。
• ℝⁿ∖{0} で非消滅ヤコビアンをもつ斉次写像がグローバルに可逆であり、その逆写像もまた斉次であることを証明すること。
• 非線形双曲型PDEおよびフーリエ積分作用素のグローバル解析への応用の基盤を提供すること。
• グローバル逆写像が ℝⁿ∖{0} で連続的かつ Cᵏ-滑らかであり、f(0) = 0 のとき ℝⁿ 上にグローバルホメオモーティズムに拡張可能であることを示すこと。

提案手法

• 特異点をもつ写像にハダマールのグローバル逆関数定理を、位相的道具を用いて適応する。
• 単連結多様体上で非消滅ヤコビアンをもつ C¹-写像が微分同相写像であるという定理 2.1 を、n ≥ 3 のときの ℝⁿ∖{0} に適用する。
• |f(y)| → ∞ が |y| → ∞ のとき成り立つ f の正則性（properness）を用いて、コンパクト性の議論により全射性と単射性を保証する。
• f: ℝⁿ∖{0} → ℝⁿ∖{0} の制限が、正則性と非消滅ヤコビアンを満たすことで、Cᵏ-微分同相写像であることを証明する。
• f のスケーリング性質を用いて、逆写像 f⁻¹ が正に斉次で、順序 1/κ であることを確立する。
• ℝⁿ∖{0} におけるコンパクト性が ℝⁿ におけるコンパクト性と同値であることを利用して、空間間での正則性を転送する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正に斉次な写像 f: ℝⁿ∖{0} → ℝⁿ がどのような条件下でグローバルに可逆となるか？
• RQ2 ハダマールのグローバル逆関数定理は、原点で特異な写像に拡張可能か？
• RQ3 どのような位相的および解析的条件が、非消滅ヤコビアンをもつ斉次写像がグローバル Cᵏ-微分同相写像であることを保証するか？
• RQ4 斉次写像のグローバル可逆性は、振動積分のグローバル L² 有界性とどのように関係するか？
• RQ5 なぜ n = 2 の場合にグローバル可逆性が失敗するのか？この場合に生じる位相的障害は何か？

主な発見

• n ≥ 3 のとき、非消滅ヤコビアンをもつ Cᵏ-斉次写像 f: ℝⁿ∖{0} → ℝⁿ は、ℝⁿ∖{0} から ℝⁿ∖{0} へのグローバル全単射である。
• グローバル逆写像 f⁻¹ は ℝⁿ∖{0} で Cᵏ-滑らかであり、正に斉次で、順序 1/κ である。
• f を f(0) = 0 と定義して ℝⁿ に拡張すると、ℝⁿ 上にグローバルホメオモーティズムが得られる。
• n = 2 の場合、位相的障害のためこの結果は成立しない。反例として f(x,y) = (x²−y², 2xy) が挙げられ、これはヤコビアン条件を満たすが単射でない。
• f の正則性（|y|→∞ ⇒ |f(y)|→∞）と ℝⁿ∖{0} 上での非消滅ヤコビアンが、グローバル可逆性を保証する。
• f の ℝⁿ∖{0} への制限は正則写像であり、n ≥ 3 のとき ℝⁿ∖{0} が単連結であることから、被覆空間論により単射性が保証される。