[論文レビュー] On hard quadrature problems for marginal distributions of SDEs with bounded smooth coefficients

Thomas Müller-Gronbach, Larisa Yaroslavtseva|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、無限回微分可能で有界な係数を持つ確率微分方程式（SDEs）に対して、係数およびその導関数の有限回の評価に基づくいかなるモンテカルロ法も、歪度期待値の計算において多項式収束速度を達成できないことを確立している。主な結果は、任意に遅い収束速度に対し、滑らかで有界な係数を持つSDEが存在し、その平均絶対誤差がその速度より速く収束できないことを示しており、これらの正則性条件下におけるSDEの数値積分における本質的で最悪ケースの複雑性の壁を示している。

ABSTRACT

In recent work of Hairer, Hutzenthaler and Jentzen, see [9], a stochastic differential equation (SDE) with infinitely often differentiable and bounded coefficients was constructed such that the Monte Carlo Euler method for approximation of the expected value of the first component of the solution at the final time converges but fails to achieve a mean square error of a polynomial rate. In the present paper we show that this type of bad performance for quadrature of SDEs with infinitely often differentiable and bounded coefficients is not a shortcoming of the Euler scheme in particular but can be observed in a worst case sense for every approximation method that is based on finitely many function values of the coefficients of the SDE. Even worse we show that for any sequence of Monte Carlo methods based on finitely many sequential evaluations of the coefficients and all their partial derivatives and for every arbitrarily slow convergence speed there exists a sequence of SDEs with infinitely often differentiable and bounded by one coefficients such that the first order derivatives of all diffusion coefficients are bounded by one as well and the first order derivatives of all drift coefficients are uniformly dominated by a single real-valued function and such that the corresponding sequence of mean absolute errors for approximation of the expected value of the first component of the solution at the final time can not converge to zero faster than the given speed.

研究の動機と目的

• 滑らかで有界な係数を持つSDE解の期待値の数値近似における収束速度の根本的限界を調査すること。
• モンテカルロ・オイラー法で観察された不良な収束が、スキームの欠陥であるのか、問題クラス自体の本質的性質であるのかを特定すること。
• 係数およびその導関数の有限回の評価を用いるいかなるアルゴリズムに対しても、収束速度の最悪ケース下界を確立すること。
• 無限回微分可能で有界な係数であっても、最悪ケースにおいて多項式収束が達成できないことを示すこと。

提案手法

• 滑らかで有界な係数と、ドリフトおよび拡散係数の一次微分が一様に有界なSDEの族を構築する。
• 係数空間における振動関数の新規構成を用いて、解の歪度分布に病理的挙動を生じさせる。
• 関数値とそれらが期待値に与える影響（ガウス重み付き積分経由）との乖離に基づく下界技術に依存する。
• 点での差が小さいにもかかわらず、積分関数的における差がゼロから離れている関数のペアを滑らか関数族内で構築する、重要な技術的道具。
• サイン積分とガウス測度を用いた摂動論法を適用し、任意の決定的またはモンテカルロ法の誤差に対する下界を導出する。
• 有界性と滑らかさを保ちつつ最悪ケース誤差構造を維持するため、滑らかで compact な台を持つ関数およびその導関数の性質を分析に活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数およびその導関数の有限回の評価に基づくいかなる数値法でも、滑らかで有界な係数を持つSDE解の第一成分の期待値を計算する際に多項式収束速度を達成できるか。
• RQ2 特定のSDEに対してモンテカルロ・オイラー法で観察される不良な収束速度は、スキームの制限であるのか、問題クラス自体の本質的性質であるのか。
• RQ3 無限回微分可能で有界な係数を持つSDEの積分における最悪ケース収束速度は何か。
• RQ4 高次のスキームやより洗練されたサンプリング戦略を用いることで収束速度を向上させられるか。

主な発見

• 任意に遅い収束速度に対して、無限回微分可能で有界な係数を持つSDEの列が存在し、その中で係数およびその導関数の有限回の評価に基づくいかなるモンテカルロ法でも、それより速い収束速度を達成できない。
• ドリフトおよび拡散係数のすべての一次微分は1で一様に有界であり、ドリフト係数の一次微分は単一の可積分関数によって支配されている。
• 時間1における解の第一成分の期待値を近似する際の平均絶対誤差は、任意の部分多項式的レートより速く0に収束できない。
• すべての係数およびその一次導関数が1で有界であっても、この結果は成り立つため、滑らかさだけでは積分が取り扱い可能になるとは限らない。
• 誤差の最悪ケース下界は明示的に定量化されており、臨界点における係数関数の逆数に依存し、その二乗に指数的に減少する。