[論文レビュー] An explicit Euler scheme with strong rate of convergence for financial SDEs with non-Lipschitz coefficients

Jean-François Chassagneux, Antoine Jacquier+1 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、CIR、$3/2$、およびAit-Sahaliaモデルなど、金融モデルに一般的に見られる非リプシッツ係数を有する確率微分方程式（SDEs）に対して、射影を組み込んだ修正された明示的Euler-Maruyamaスキームを提案する。非リプシッツ拡散に対するランベルティ変換と射影機構を組み合わせることで、$L^{1+\varepsilon}$ノルムにおける最適な強い収束速度を達成し、40倍の計算コスト削減が可能な効率的なマルチレベルモンテカルロ価格設定を可能にする。

ABSTRACT

We consider the approximation of stochastic differential equations (SDEs) with non-Lipschitz drift or diffusion coefficients. We present a modified explicit Euler-Maruyama discretisation scheme that allows us to prove strong convergence, with a rate. Under some regularity and integrability conditions, we obtain the optimal strong error rate. We apply this scheme to SDEs widely used in the mathematical finance literature, including the Cox-Ingersoll-Ross~(CIR), the 3/2 and the Ait-Sahalia models, as well as a family of mean-reverting processes with locally smooth coefficients. We numerically illustrate the strong convergence of the scheme and demonstrate its efficiency in a multilevel Monte Carlo setting.

研究の動機と目的

• 金融モデルに一般的に見られる非グローバルリプシッツ性を示すドリフト項および拡散項を有するSDEsに対して、明示スキームにおける強い収束速度の欠如を解消すること。
• 真のSDEの状態空間内に留まる計算的に効率的な数値スキームを構築し、爆発や負の値の発生を回避すること。
• CIR、$3/2$、およびAit-Sahaliaモデルを含む広範なSDEクラスについて、弱い正則性および可積分性条件のもとで最適な強い収束速度を確立すること。
• マルチレベルモンテカルロ（MLMC）価格設定を効率的に行うために、$L^{1+\varepsilon}$ノルムにおける収束を証明し、$\varepsilon=1$がMLMC応用に適していることを利用すること。
• 非リプシッツ性が定義域の両端で同時に発現する状況を同時に処理できるように、既存のテイムドおよび射影スキームを一般化すること。

提案手法

• 数値解が領域$(0,\infty)$に留まるように保証する射影を組み込んだ修正明示的Euler-Maruyamaスキームを導入し、負の値の発生を防止する。
• 非リプシッツ拡散を有するSDEを、定数拡散を持つものに変換するためのランベルティ変換を適用し、非滑らか性をドリフト項に移動させる。
• ドリフト項に局所的リプシッツ条件と片側リプシッツ条件を適用し、成長を制御し、安定性を確保する。
• 真の過程と近似過程の誤差を解析することで、モーメントバウンドとローゲーション技術を活用し、$L^{1+\varepsilon}$ノルムにおける強い収束を確立する。
• 階層的な時間刻みと、異なるレベル間の差分による分散低減を用いたマルチレベルモンテカルロ（MLMC）フレームワークにこのスキームを実装する。
• 数値的安定性を確保するため、射影スキームにパラメータ$k=1/4$を用い、CIRおよびスプレッドオプションの例では$L=0.01$を設定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非リプシッツ係数を有するSDEsに対して、射影を施した明示的Eulerスキームは、数学的ファイナンスの文脈で強い収束を達成できるか？
• RQ2 CIRや$3/2$モデルのようなケースにおいて、このようなスキームが達成可能な最適な強い収束速度は何か？
• RQ3 MLMC設定において、標準モンテカルロ法および既存のテイムド／陰的スキームと比較して、本スキームの効率性はいかがなものか？
• RQ4 本スキームは、状態空間の両端で非リプシッツ性を同時に処理できるか？
• RQ5 本スキームを用いたMLMC実装は、標準モンテカルロ法と比較して、計算コストの何倍の削減が達成できるか？

主な発見

• 修正されたEulerスキームは、$\varepsilon \geq 0$における$L^{1+\varepsilon}$ノルムで最適な収束速度$1/2$を達成する。$\varepsilon=1$の場合はMLMC応用に適している。
• CIRモデルでは、標準モンテカルロ対MLMCで最大27倍の計算コスト削減が達成され、$\varepsilon=0.000005$の場合はMLMCで最大40.97倍の削減が得られた。
• 相関係数$\rho = -0.7$のCIRスプレッドオプション例では、$\varepsilon=0.000005$の条件下でMLMC実装が標準モンテカルロ法比で47.19倍の計算コスト削減を達成した。
• 従来の困難とされた$3/2$モデルに対しても本スキームは成功しており、Remark 4.2で新たな収束結果が確立された。
• 数値的結果から、MLMCにおける差分の分散が、標準Eulerスキームの弱収束速度の約2倍の速さで減少することが確認された。
• 非リプシッツ係数に対して安定性と収束性を保証しながらも、明示的Euler-Maruyamaスキームと同等の計算コストを維持した。