[論文レビュー] On higher spin partition functions

M. Beccaria, A.A. Tseytlin|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 41被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、平坦空間、$\mathrm{AdS}_d$、および共形的に平坦な$S^4$の背景において、自由で質量のない高スピン場（すべてのスピン$s = 0,1,2,\dots$）の1ループにおける分配関数が、物理的自由度とゴーストのデターミナントが完全に相殺されることで正確に1に等しいことを示している。この$Z=1$の結果は、大きなゲージ対称性に起因し、共形的高スピン理論や共形的対称テンソル理論へと拡張可能であり、紫外線有限性を示唆するとともに、位相的または超対称的構造との深い関係を示唆している。

ABSTRACT

We observe that the partition function of the set of all free massless higher spins s=0,1,2,3,... in flat space is equal to one: the ghost determinants cancel against the "physical" ones or, equivalently, the (regularized) total number of degrees of freedom vanishes. This reflects large underlying gauge symmetry and suggests analogy with supersymmetric or topological theory. The Z=1 property extends also to the AdS background, i.e. the 1-loop vacuum partition function of Vasiliev theory is equal to 1 (assuming a particular regularization of the sum over spins); this was noticed earlier as a consistency requirement for the vectorial AdS/CFT duality. We find that Z=1 is also true in the conformal higher spin theory (with higher-derivative d^{2s} kinetic terms) expanded near flat or conformally flat S^4 background. We also consider the partition function of free conformal theory of symmetric traceless rank s tensor field which has 2-derivative kinetic term but only scalar gauge invariance in flat 4d space. This non-unitary theory has a Weyl-invariant action in curved background and corresponds to "partially massless" field in AdS_5. We discuss in detail the special case of s=2 (or "conformal graviton"), compute the corresponding conformal anomaly coefficients and compare them with previously found expressions for generic representations of conformal group in 4 dimensions.

研究の動機と目的

• 平坦空間および曲がった背景における無限個の自由高スピン場の量子的分配関数を調査すること。
• すべてのスピンにわたるゲージ対称性が自由度をどのように相殺するかを理解すること。
• 共形的高スピン理論および共形的対称テンソル場理論を含む、さまざまな高スピン理論における$Z=1$性質を確立すること。
• この$Z=1$の結果が既知の異常係数および正則化スキームと整合するかを検証すること。
• 平坦空間における$Z=1$と、そのベクトル型AdS/CFT双対性および$S^4$上の共形場理論への影響との関係を調査すること。

提案手法

• 対称トレースレステンソルの運動方程式の作用素の関数的デターミナントを用いて分配関数を計算し、ゼータ関数正則化または次元正則化を用いる。
• 質量のない高スピン（MHS）場の場合、分配関数は、横方向の場におけるラプラシアンのデターミナントの比として表され、$ Z_{\text{MHS},s} = \left[ \frac{\det \Delta_{s-1\perp}}{\det \Delta_{s\perp}} \right]^{1/2} $と表され、望遠鏡的相殺が生じる。
• 共形的高スピン（CHS）理論では、高階微分の$\partial^{2s}$型運動項から分配関数が導かれるが、スピン$s$に関する共形異常係数の和の正則化により、総ての$Z_{\text{CHS}}$が1に等しいことが示される。
• 共形的対称テンソル（CST）場では、2階微分のWeyl不変作用素を用い、曲がった空間におけるスカラー型ゲージ不変性を考慮し、$S^4$および$S^1 \times S^3$上でのモード分解により分配関数を計算する。
• 1粒子分配関数$\mathcal{Z}(q)$は調和振動子モードを用いて計算され、$q = e^{-\beta}$とし、すべてのスピンにわたる和を取ることで$Z_{\text{CST}} = \sum_s \mathcal{Z}_s(q)$が得られる。
• この$Z=1$の結果は、$\mathrm{AdS}_5$におけるVasiliev理論の$Z=1$性質と一致することを確認することで検証され、$[Z_{\text{MHS}}(\mathrm{AdS}_5)]_{\text{tot}} = [Z_{\text{CHS}}(S^4)]_{\text{tot}} = 1$という関係が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦空間におけるすべての自由で質量のない高スピン場の総1ループ分配関数は、ゲージ対称性による相殺によって消えるのか？
• RQ2 $Z=1$の性質は、平坦空間から$\mathrm{AdS}_d$および共形的に平坦な$S^4$の背景へとどのように拡張されるか？
• RQ3 共形的高スピン理論において、総自由度数がゼロになるように保証するための正則化の役割は何か？
• RQ4 $Z=1$の結果は、スカラー型ゲージ不変性を持つ非ユニタリな共形的対称テンソル場へと拡張可能か？
• RQ5 4次元におけるCST場の共形異常係数$a_s$および$c_s$は、一般の$SO(2,4)$表現$(3; s/2, s/2)$と比較してどうなるか？

主な発見

• 平坦空間におけるすべての自由で質量のない高スピン場の1ループ分配関数は、物理的自由度とゴーストのデターミナントの相殺により正確に$Z=1$に等しい。
• Vasiliev理論における特定の正則化のもとで、$\mathrm{AdS}_d$でもこの$Z=1$性質は成り立ち、ベクトル型AdS/CFT双対性と整合的である。
• 共形的高スピン理論において$S^4$上では、総分配関数もまた$Z=1$に等しく、次元正則化とMHS分配関数の代替境界条件との一致により確認された。
• 4次元平坦空間における共形的対称テンソル場でも、非ユニタリ性があるにもかかわらず、CHS場と同一の自由度数を持つため、総分配関数は再び$Z=1$に等しい。
• CST場の共形異常係数$a_s$および$c_s$は、一般の$SO(2,4)$表現$(3; s/2, s/2)$の式と一致し、共形場理論の期待と整合的であることが確認された。
• $S^4$上でのランク2のCST場の分配関数は$\mathcal{Z}_{\text{CST},2}(q) = \frac{2q^2(8 - q - q^2)}{(1-q)^3}$と表され、正則化後に総$Z_{\text{CST}}$は1に収束する。