[論文レビュー] On honest times in financial modeling

Ashkan Nikeghbali, Eckhard Platen|ArXiv.org|Aug 21, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 46被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、成長最適ポートフォリオ（GOP）をナギュラールとして用いることで、停止時刻でないランダム時刻（誠実時刻）を用いたモデルに依存しない金融モデル化の枠組みを導入する。ベンチマーク化された非負のポートフォリオのグローバル最大値に関連する誠実時刻の分布および条件付き分布の普遍的公式を導出し、変則過程および拡散過程に対して明示的な結果を得る。これにより、同等のリスク中立測度を仮定しない、強固なデリバティブ価格設定とヘッジ戦略が可能となる。

ABSTRACT

This paper demonstrates the usefulness and importance of the concept of honest times to financial modeling. It studies a financial market with asset prices that follow jump-diffusions with negative jumps. The central building block of the market model is its growth optimal portfolio (GOP), which maximizes the growth rate of strictly positive portfolios. Primary security account prices, when expressed in units of the GOP, turn out to be nonnegative local martingales. In the proposed framework an equivalent risk neutral probability measure need not exist. Derivative prices are obtained as conditional expectations of corresponding future payoffs, with the GOP as numeraire and the real world probability as pricing measure. The time when the global maximum of a portfolio with no positive jumps, when expressed in units of the GOP, is reached, is shown to be a generic representation of an honest time. We provide a general formula for the law of such honest times and compute the conditional distributions of the global maximum of a portfolio in this framework. Moreover, we provide a stochastic integral representation for uniformly integrable martingales whose terminal values are functions of the global maximum of a portfolio. These formulae are model independent and universal. We also specialize our results to some examples where we hedge a payoff that arrives at an honest time.

研究の動機と目的

• 標準の停止時刻理論では捉えきれないランダム時刻（誠実時刻）を用いた、モデルに依存しない金融モデル化の枠組みの構築を目的とする。
• ベンチマーク化された非負のポートフォリオがグローバル最大値に達する時刻が、一般に誠実時刻であることを示し、投資家およびリスクマネージャーに新たなツールを提供することを目的とする。
• 特定の市場ダイナミクスに依存しない、こうした誠実時刻の分布および条件付き分布の明示的で普遍的な公式を導出することを目的とする。
• ベンチマーク化ポートフォリオのグローバル最大値に依存する終端値を持つ一様可積分マルティンゲールの確率積分表現を提供し、強固なヘッジ戦略を可能とすることを目的とする。

提案手法

• すべてのベンチマーク化された非負のポートフォリオが局所マルティンゲールとなるよう、成長最適ポートフォリオ（GOP）をナギュラールとして用いる。
• 特に、局所マルティンゲールがその最大値に到達する最後の通過時刻による特徴付けを用いて、確率解析における誠実時刻理論を適用する。
• 非一様拡散過程のスケール関数および無限小生成作用素を用いて、誠実時刻のラプラス変換を導出する。
• 次に、次元δ=3の平方ボッハル過程に対して、逆ラプラス変換を用いて誠実時刻の明示的密度公式を導出する。
• スケール関数および最小過程を用いて、誠実時刻の条件付き生存確率の一般公式を確立する。
• 同等のリスク中立測度を必要としないように、ベンチマークアプローチを適用することで、現実世界におけるデリバティブの価格設定を可能とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負のベンチマーク化ポートフォリオがグローバル最大値に達する時刻の分布は何か？ そして、モデルに依存しない普遍的な計算方法は？
• RQ2 ベンチマーク化ポートフォリオのグローバル最大値の条件付き分布を、モデルに依存しない方法でどのように特徴付けられるか？
• RQ3 終端値がベンチマーク化ポートフォリオのグローバル最大値に依存する一様可積分マルティンゲールの確率積分表現は何か？
• RQ4 誠実時刻の法則を、拡散過程のスケール関数および無限小生成作用素を用いてどのように表現できるか？
• RQ5 特定のモデル、例えば次元δ=3の平方ボッハル過程において、誠実時刻の密度関数を明示的に導出できるか？

主な発見

• 次元δ=3の平方ボッハル過程に対して、誠実時刻gは、初期レベルR₀² = x > 0およびt ≥ 0に対して、p(t) = (1/√(2πxt)) * (1 - exp(-x/(2t))) で与えられる明示的密度関数を持つ。
• 誠実時刻gのラプラス変換は、E[exp(-λg)] = (2/√(2λx)) * exp(-√(2λx)/2) * sinh(√(2λx)/2) で与えられ、逆ラプラス変換により明示的密度が得られる。
• 条件付き生存確率P(g > t | Fₜ) = s(Yₜ)/s(Zₜ) であり、ここでZₜはプロセスの累積最小値を表し、sはスケール関数である。
• 一般の非一様拡散過程Yに対して、gのラプラス変換はE[exp(-λg)] = -∫₀ˣ (s′(u)/s(u)) * (φₗ(x)/φₗ(u)) du で与えられ、ここでφₗは固有値方程式Gφₗ = λφₗを満たす。
• この枠組みにより、同等のリスク中立測度の存在を仮定しないで、デリバティブの価格設定とヘッジが可能となり、代わりにGOPをベンチマークとして用いる。
• 結果は普遍的かつモデルに依存せず、ベンチマーク化ポートフォリオが非負の局所マルティンゲールである任意のジャンプ・ドリフト市場に適用可能である。