[論文レビュー] On ill- and well-posedness of dissipative martingale solutions to stochastic 3D Euler equations

Martina Hofmanová, Rongchan Zhu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2020

Navier-Stokes equation solutions参考文献 41被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、確率的3次元非圧縮性Euler方程式に対する、非可逆なマルティンゲール解の新規クラスを導入し、その存在、弱解-strong解の一意性、法則における非一意性、および強マコフ解の存在と非一意性を確立する。凸被摂動の確率的変種と確率的選択技法を用いて、加法的または線形乗法的ノイズが存在する場合でさえ、解の適切性（well-posedness）が確率的意味で成立しないことを示し、確率的摂動の正則化可能性に疑問を呈する。

ABSTRACT

We are concerned with the question of well-posedness of stochastic three dimensional incompressible Euler equations. In particular, we introduce a novel class of dissipative solutions and show that (i) existence; (ii) weak--strong uniqueness; (iii) non-uniqueness in law; (iv) existence of a strong Markov solution; (v) non-uniqueness of strong Markov solutions; all hold true within this class. Moreover, as a byproduct of (iii) we obtain existence and non-uniqueness of probabilistically strong and analytically weak solutions defined up to a stopping time and satisfying an energy inequality.

研究の動機と目的

• 一般のノイズ仮定の下で、確率的3次元非圧縮性Euler方程式の適切性（well-posedness）を扱う。
• エネルギー不等式を満たし、物理的に意味のある新規クラスの非可逆マルティンゲール解を導入・分析する。
• 確率的摂動が、特に非一意性とマコフ選択の文脈において、3D Euler方程式の力学を正則化できるかどうかを調査する。
• 停止時刻まで定義された解を、確率的構成を用いて全時刻にわたる解へと拡張する。
• 強マコフ解が存在するかどうか、および法則において一意であるかどうかを特定する。

提案手法

• 非可逆マルティンゲール解を無限に構成するため、凸被摂動法の確率的変種が用いられる。これらはエネルギー等式を満たさない。
• 局所解を停止時刻まで定義したものを、[0, ∞) 上の全時刻解へと拡張するための確率的拡張手続きに依存する。
• 強マコフ選択の理論を活用し、可測選択定理を用いてマルティンゲール解からマコフ過程を構成する。
• エネルギーの伊藤公式における確率積分項の正則性を保証するため、ヤング積分が用いられる。
• 法則における非一意性は、同一の初期分布を持つが、テスト関数の期待値が異なる2つの異なる確率測度を、経路空間上に構成することで確立される。
• 強マコフ解の非一意性の証明には、関数不等式を用いた双対性の議論が用いられ、2つの異なる解の族に対して選択定理を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的3D Euler方程式に対して、非可逆マルティンゲール解を構成可能であり、弱解-strong解の一意性を満たすか？
• RQ2 加法的または線形乗法的ノイズの存在が、3D Euler方程式を正則化し、非一意性を防ぐか？
• RQ3 確率的3D Euler系に対して複数の強マコフ解が存在するか？もしそうならば、どのような条件下で？
• RQ4 停止時刻まで定義された解を、エネルギー不等式を保ったまま全時刻にわたって拡張可能か？
• RQ5 法則において非一意な確率的強解かつ解析的弱解を、エネルギー不等式を満たす形で構成可能か？

主な発見

• 一般のノイズ仮定（加法的および線形乗法的ノイズを含む）の下で、確率的3D Euler方程式に対して非可逆マルティンゲール解の存在が確立された。
• 非可逆マルティンゲール解のクラス内では、弱解-strong解の一意性が成立する。つまり、同一の初期データを持ち、一方が強解である2つの解は一致する。
• 法則における非一意性が証明された：特定の初期データに対して、同一の初期分布を持つが異なる法則を持つ複数の非可逆マルティンゲール解が存在する。
• 強マコフ解は全時刻にわたって存在し、非可逆マルティンゲール解の族から可測選択により構成された。
• 強マコフ解の非一意性が確立された：同一の初期データに対して、少なくとも2つの異なる強マコフ族（1つは適切、もう1つは非適切である可能性がある）が存在する。
• 副次的な結果として、エネルギー不等式を満たす確率的強解かつ解析的弱解の存在と非一意性が得られた。