[論文レビュー] On immersions of surfaces into SL(2,C) and geometric consequences

Francesco Bonsante, Christian El Emam|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、複素数平面形式 𝕏₃ ≅ SL(2,ℂ) への曲面の埋め込みについて、ホロモルフィックなガウス・コダージェ理論を確立し、古典的リーマン幾何学的埋め込み理論を複素幾何学へ一般化する。負のオイラー標数を持つ曲面上の定曲率 −1 の正の複素計量について、一様化定理を証明し、その計量がクェイジ・フクス型表現を介してホロモルフィックにパラメータ化されることを示す。これにより、射影構造や複素ランドスケープ写像への応用が得られる。

ABSTRACT

We approach the study of totally real immersions of smooth manifolds into holomorphic Riemannian space forms of constant sectional curvature -1. We introduce a notion of first and second fundamental form, we prove that they satisfy a similar version of the classic Gauss-Codazzi equations, and conversely that solutions of Gauss-Codazzi equations are immersion data of some equivariant map. This study has some interesting geometric consequences: 1) it provides a formalism to study immersions of surfaces into SL(2,C) and into the space of geodesics of H^3; 2) it generalizes the classical theory of immersions into non-zero curvature space forms, leading to a model for the transitioning of hypersurfaces among H^n, AdS^n, dS^n and S^n; 3) we prove that a holomorphic family of immersion data corresponds to a holomorphic family of immersions, providing an effective way to construct holomorphic maps into the SO(n,C)-character variety. In particular we will point out a simpler proof of the holomorphicity of the complex landslide; 4) we see how, under certain hypothesis, complex metrics on a surface (i.e. complex bilinear forms of its complexified tangent bundle) of constant curvature -1 correspond to pairs of projective surfaces with the same holonomy. Applying Bers Double Uniformization Theorem to this construction we prove a Uniformization Theorem for complex metrics on a surface.

研究の動機と目的

• ホロモルフィックリーマン空間形式における超曲面の古典的ガウス・コダージェ理論のホロモルフィック類似を構築すること。
• 複素幾何学を用いて、SL(2,ℂ) および ℍ³ の測地線空間 𝔾 への曲面の埋め込みを研究すること。
• 負のオイラー標数を持つ曲面における定曲率 −1 の正の複素計量の均一化定理を確立すること。
• 初期データに対するモノドロミーのホロモルフィック依存性を証明し、複素ランドスケープ写像に応用すること。
• ベルズの定理類似を介して、複素計量と射影構造、クェイジ・フクス型表現を結びつけること。

提案手法

• 複素多様体上のホロモルフィックリーマン計量および曲率を形式的に定義し、リーマン接続と曲率テンソルをホロモルフィック構造により定義する。
• 定曲率 −1 を持つ複素多様体 𝕏ₙ を、ℂⁿ⁺¹ 内の二次曲面として定義し、𝕏₃ ≅ SL(2,ℂ) を特定する。
• 定曲率 −1 の複素空間形式 𝕏ₙ₊₁ における超曲面のガウス方程式およびコダージェ方程式を導出し、実数のcodimension 1 埋め込み理論を一般化する。
• 2つの等変写像 f₁, f₂ に付随する複素構造を用いて、σ = (f₁, f₂): ˜S → 𝔾 ⊂ ℂℙ¹×ℂℙ¹ という等長埋め込みを構成する。
• 𝔾 上の計量の引き戻しにより、S 上に正の複素計量 g を定義し、そのホロノミーが発展写像のモノドロミーと関係することを示す。
• 任意の χ(S) < 0 を満たす曲面 S 上の正の複素計量が、クェイジ・フクス型ホロノミーを持つ定曲率 −1 計量と、等角的に同値であることを示すことにより、一様化結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定曲率 −1 の複素空間形式へのホロモルフィック埋め込みについて、実数超曲面に対する古典的ガウス・コダージェ理論をどのように一般化できるか。
• RQ2 SL(2,ℂ) および ℍ³ の測地線空間への埋め込みは、曲面上の複素計量および射影構造とどのように関係するか。
• RQ3 複素計量および幾何的構造の文脈において、初期データに対するモノドロミーのホロモルフィック依存性が果たす役割は何か。
• RQ4 負のオイラー標数を持つ曲面上で、定曲率 −1 の複素計量をどの程度一様にパラメータ化できるか。
• RQ5 複素ランドスケープ写像は、PSL(2,ℂ) のキャラクター多様体のホロモルフィック構造とどのように関係するか。

主な発見

• 本論文は、ホロモルフィック一様化定理を構築する。任意の χ(S) < 0 を満たす曲面 S 上の正の複素計量は、一意にクェイジ・フクス型ホロノミーを持つ定曲率 −1 計量と等角的に同値である。
• 写像 𝔪𝔬𝔫: CM⁺₋₁(S) → BC(S) は連続的な右逆写像 𝔪𝔞𝔠 を持つことが示され、複素構造を介した定曲率 −1 計量のホロモルフィックパラメータ化が確立される。
• 一様化写像 𝔪𝔞𝔠 の像は、S が閉曲面の場合、Riemann計量を含む CM⁺₋₁(S) の連結成分に一致する。
• S 上の複素計量 g の構成は、等長埋め込み σ = (f₁, f₂) を通じて 𝔾 上の計量を引き戻すことにより行われる。ここで f₁ および f₂ は、逆の複素構造を持つ ℂℙ¹ への等変写像である。
• 初期データに対するモノドロミーのホロモルフィック依存性が証明され、これが複素ランドスケープ写像のホロモルフィック性を示唆する。
• 空間 𝕏₃ は SL(2,ℂ) と同一視され、ℍ³ の測地線空間の 𝕏₃ への埋め込みが等長であることが示され、曲面上の複素計量の幾何的モデルが得られる。