[論文レビュー] On integral models of Shimura varieties

G. Pappas|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、レベル部分群がパラホリックである素数において、Shimura多様体の正規化積分モデルを定義する。これは、パラホリック構造を持つ${\mathcal{G}}$-ディスプレイの存在を介して「標準的」なモデルを定義する。また、正則性仮定の下でHodge型の場合に、PappasとKisinが構成した積分モデルが、選択に依存せず標準的であることを証明する。その根拠として、${\mathcal{G}}$-構造を備えたディスプレイ理論の新理論を用いる。

ABSTRACT

We show how to characterize integral models of Shimura varieties over places of the reflex field where the level subgroup is parahoric by formulating a definition of a "canonical" integral model. We then prove that in Hodge type cases and under a tameness hypothesis, the integral models constructed by the author and Kisin in previous work are canonical and, in particular, independent of choices. A main tool is a theory of displays with parahoric structure that we develop in this paper.

研究の動機と目的

• レベル部分群がパラホリックである素数におけるShimura多様体の標準的積分モデルを定義すること。
• 長年の問題である、積分モデルのグローバルな特徴付けとその構成の選択に依存しない性質の証明。
• 特異的でパラホリックな場合にまで、平滑な場合の「標準的」モデルの概念を拡張すること。
• 正則性仮定の下で、Hodge型Shimura多様体のパラホリック素数におけるPappasとKisinの積分モデルが、標準的かつ選択に依存しないことの確立。
• 再帰的群の${\mathbb{Z}}_p$上に${\mathcal{G}}$-構造を備えたディスプレイ理論を構築し、本特徴付けの基盤とする。

提案手法

• レベル部分群に対応するパラホリック群スキーム${\mathcal{G}}$を備えた、${\mathcal{G}}$-ディスプレイ（${\mathcal{G}}$-構造を備えたフィルター付きFrobenius加群）の存在を介して、標準的積分モデルを定義する。
• 積分モデル上に普遍的$p$-可除群を構成し、そのDieudonnéクリスタルを用いて${\rm GL}$-ディスプレイを定義する。
• Dieudonné加群内のFrobenius不変テンソルを用いて、特異ファイバーから$p$-進完成への${\mathcal{G}}$- torsor 構造を上昇させる。
• Dieudonné加群と固定ラティス間のテンソルの同型を用いて、Shimura多様体の形式的完成上に${\mathcal{G}}$-torsorを構成する。
• ローカルモデル図と${\mathcal{G}}$-同変性を用いて、積分モデル上での${\mathcal{G}}$-ディスプレイ構造を定義する。
• Dieudonné理論と${\mathcal{G}}$-ディスプレイの辞書を適用し、Frobenius構造を上昇させ、ディスプレイ公理を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラホリックレベルにおけるShimura多様体に対して、滑らかでない場合に標準的積分モデルが一意に特徴付けられるか。
• RQ2 PappasとKisinがHodge型Shimura多様体のパラホリックレベル構造に対して構成した積分モデルが、その構成における選択に依存しないか。
• RQ3 平滑な場合の「標準的」モデルの概念を、特異的でパラホリックな場合へ拡張可能か。
• RQ4 パラホリック構造を持つ${\mathcal{G}}$-ディスプレイの存在が、Shimura多様体の積分モデルを一意に特徴付けるか。
• RQ5 再帰的群の${\mathbb{Z}}_p$上に${\mathcal{G}}$-構造を備えたディスプレイ理論を一般化可能か。

主な発見

• PappasとKisinがパラホリックレベル構造を持つShimura多様体に対して構成した積分モデルは、定義7.1.3の意味で標準的である。これは、一意に関連する$({\mathcal{G}},{\rm M}^{{\rm loc}})$-ディスプレイを備えていることを意味する。
• これらのモデルは、その構成における選択に依存せず、標準的構造が${\mathcal{G}}$-ディスプレイの存在によって一意に定まることから、独立性を有する。
• モデルの形式的完成上に局所的普遍的関連系が存在することは、$({\mathcal{G}},{\rm M}^{{\rm loc}})$-ディスプレイの存在を示唆する。
• モデル上での普遍的$p$-可除群のDieudonnéクリスタルは、テンソルの整合性を介して${\rm GL}$-ディスプレイを導き、それが${\mathcal{G}}$-ディスプレイに上昇する。
• ${\mathcal{G}}$-torsor 構造は、Dieudonné加群と固定ラティス間のテンソルの同型を用いて構成され、ローカルモデルとの整合性を保証する。
• Dieudonné加群上のFrobenius構造は、${\mathcal{G}}$-同変同型を一意に定め、ディスプレイ構造を完成させ、標準的性質を検証する。