[論文レビュー] Self-Adjoint Extensions by Additive Perturbations

Andrea Posilicano|ArXiv.org|Apr 24, 2001

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 13被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、境界条件を用いた自己共役拡張の新たな加法的分解を提示する。任意の $ A_{\frak{N}} $ の自己共役拡張 $ A_\theta $ で $ D(A_\theta) \cap D(A) = \frak{N} $ を満たすものについて、$ A_\theta = \bar{A} + T_\theta $ と書けることが示され、ここで $ \bar{A} $ は $ A $ の閉包であり、$ T_\theta $ は $ \frak{N} $ に同型なヒルベルト空間上の自己共役パrameter $ \theta $ を用いて定義される境界作用素である。この手法により、クレインのリゾルベント公式とフォンノイマンの拡張理論が統一される。

ABSTRACT

Let $A_\N$ be the symmetric operator given by the restriction of $A$ to $\N$, where $A$ is a self-adjoint operator on the Hilbert space $\H$ and $\N$ is a linear dense set which is closed with respect to the graph norm on $D(A)$, the operator domain of $A$. We show that any self-adjoint extension $A_Θ$ of $A_\N$ such that $D(A_Θ)\cap D(A)=\N$ can be additively decomposed by the sum $A_Θ=\A+T_Θ$, where both the operators $\A$ and $T_Θ$ take values in the strong dual of $D(A)$. The operator $\A$ is the closed extension of $A$ to the whole $\H$ whereas $T_Θ$ is explicitly written in terms of a (abstract) boundary condition depending on $\N$ and on the extension parameter $Θ$, a self-adjoint operator on an auxiliary Hilbert space isomorphic (as a set) to the deficiency spaces of $A_\N$. The explicit connection with both Kre\uın's resolvent formula and von Neumann's theory of self-adjoint extensions is given.

研究の動機と目的

• 密なグラフノルム閉部分空間 $ \frak{N} \subset D(A) $ に制限された対称作用素の自己共役拡張の新たな加法的分解を提供すること。
• クレイン型リゾルベント公式と境界条件を介したフォンノイマンの自己共役拡張分類との間の関係を確立すること。
• 抽象的境界条件を用いて、有限ランク摂動理論を無限ランク拡張に一般化すること。
• フォンノイマンの枠組みにおけるユニタリ写像と拡張パrameter $ \theta $ の明示的関係を確立し、両者のパラメータ化の完全な対応を可能にすること。

提案手法

• 自己共役作用素 $ A $ をヒルベルト空間 $ \mathcal{H} $ 上で定義し、$ D(A) $ の密な部分空間 $ \frak{N} $ で閉じたグラフノルムに関して閉じていると仮定し、$ A_{\frak{N}} $ を $ A $ のその制限として定義する。
• 核が $ \frak{N} $ である連続な全射線形写像 $ \tau: D(A) \to \mathfrak{h} $ を導入する。ここで $ \mathfrak{h} $ は $ A_{\frak{N}} $ の欠損空間 $ \mathcal{K}_\pm $ に同型なヒルベルト空間である。
• 境界条件 $ \tau\phi_\star = \theta Q_\phi $ を用いたクレインに類似した公式を介して、拡張 $ A_\theta $ のリゾルベントを構成する。ここで $ \theta $ は $ \mathfrak{h} $ 上の自己共役作用素である。
• $ \bar{A} $ を $ \mathcal{H} $ 上での $ A $ の閉包とし、$ T_\theta $ を $ D(A) $ の強い双対空間に値をとる作用素として明示的に定義する。このとき $ A_\theta = \bar{A} + T_\theta $ と表される。
• 自己共役パrameter $ \theta $ とフォンノイマン理論におけるユニタリ写像 $ U: \mathcal{K}_+ \to \mathcal{K}_- $ の間の全単射対応を確立し、境界条件アプローチとフォンノイマン理論を結びつける。
• $ \widetilde{A} = \bar{A} + T $ が $ A^*_{\frak{N}} $ と一致し、この対応関係のもとで $ A_\theta = A_U $ が成り立つことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密でグラフノルムに関して閉じた部分空間 $ \frak{N} \subset D(A) $ を持つ対称作用素 $ A_{\frak{N}} $ の自己共役拡張は、閉包拡張と境界作用素の和としてどのように加法的に分解できるか？
• RQ2 境界条件パラメータ $ \theta $ とフォンノイマンの自己共役拡張分類におけるユニタリ写像 $ U: \mathcal{K}_+ \to \mathcal{K}_- $ の間の明示的関係は何か？
• RQ3 クレインのリゾルベント公式は、$ D(A) $ の強い双対空間における境界条件による加法的摂動の観点から再解釈可能か？
• RQ4 $ \widetilde{A} = \bar{A} + T $ が $ D(\widehat{A}) \cap D(A) = \frak{N} $ を満たす自己共役拡張 $ \widehat{A} $ と一致するための条件は何か？
• RQ5 有限ランク摂動理論は、特に $ d $-集合における特異摂動の文脈で、どのように無限ランク拡張に一般化されるか？

主な発見

• 任意の自己共役拡張 $ A_\theta $ で $ D(A_\theta) \cap D(A) = \frak{N} $ を満たすものについて、$ A_\theta = \bar{A} + T_\theta $ という加法的分解が成り立つ。ここで $ \bar{A} $ は $ \mathcal{H} $ 上での $ A $ の閉包であり、$ T_\theta $ は $ D(A) $ の強い双対空間に値をとる明確に定義された作用素である。
• $ T_\theta $ は境界条件 $ \tau\phi_\star = \theta Q_\phi $ から明示的に構成され、$ \tau $ は $ D(A) $ を $ \mathcal{K}_\pm $ に同型なヒルベルト空間 $ \mathfrak{h} $ に全射する。$ \theta $ は $ \mathfrak{h} $ 上の自己共役作用素である。
• $ A_\theta $ のリゾルベントはクレイン型の公式で与えられ、$ A_\theta $ の定義域は境界条件 $ \tau\phi_\star = \theta Q_\phi $ を用いて特徴づけられる。
• $ \theta $ とフォンノイマンのユニタリ写像 $ U: \mathcal{K}_+ \to \mathcal{K}_- $ の間の対応関係は明示的に構成され、逆写像も得られ、この写像のもとで $ A_\theta = A_U $ が成り立つことが示された。
• $ \widetilde{A} = \bar{A} + T $ は $ A^*_{\frak{N}} $ と一致し、$ \widetilde{A} $ が $ A_{\frak{N}} $ の自己共役拡張で $ D(\widetilde{A}) \cap D(A) = \frak{N} $ を満たすための必要十分条件は、ある自己共役 $ \theta $ に対して境界条件 $ \tau\phi_\star = \theta Q_\phi $ が成り立つことである。
• 本フレームワークは有限ランク摂動理論を一般化する：有限欠損指数の場合、結果は [3] の§3.1 で示される有限ランク拡張理論を再現し、3次元における点相互作用や $ 0 < n-d < 2s $ を満たす $ d $-集合上の特異摂動のような無限ランクケースへと拡張される。