[論文レビュー] On irreducibility of modules of Whittaker type for cyclic orbifold vertex algebra

Dražen Adamović, Ching Hung Lam+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Dong-Masonの定理が、Whittaker型の弱モジュールへと拡張されている。弱モジュールの twisted コピーよりも成る階数付きモジュールを構成し、Lie代数の実現とWhittaker関数を用いることで、twisted モジュール $W \circ g^i$ が互いに同型でないとき、$W$ が固定部分代数 $V^{\langle g\rangle}$ 上で依然として無限大であることを証明している。この結果により、ヘイゼンベルクおよびウェイルの頂点代数におけるWhittakerモジュールの無限大性について、頂点代数的証明が得られ、レベル $-1/2$ のアフィンVOAに対しても適用可能である。主な貢献は、Zhu代数に依存せずに、群作用下での弱モジュールの無限大性に関する一般的基準を提供することにある。

ABSTRACT

We extend the Dong-Mason theorem on the irreducibility of modules for orbifold vertex algebras from [C. Dong, G. Mason, Duke Math. J. 86 (1997)] 305-321] for the category of weak modules. Let $V$ be a vertex operator algebra, $g$ an automorphism of order $p$. Let $W$ be an irreducible weak $V$--module such that $W,W\circ g,\dots,W\circ g^{p-1}$ are inequivalent irreducible modules. We prove that $W$ is an irreducible weak $V^{\left\langle g ight angle }$-module. This result can be applied on irreducible modules of certain Lie algebra $\mathfrak L$ such that $W,W\circ g,\dots,W\circ g^{p-1}$ are Whittaker modules having different Whittaker functions. We present certain applications in the cases of the Heisenberg and Weyl vertex operator algebras.

研究の動機と目的

• オルビフォルドモジュールの無限大性に関するDong-Mason定理を、通常のモジュールから弱モジュールへと拡張すること。
• Zhu代数理論に依存しない、Whittaker型モジュールの頂点代数的無限大性証明を確立すること。
• twisted モジュール $W \circ g^i$ が同型でない場合に、弱 $V^{\langle g\rangle}$-モジュールの無限大性に関する一般的基準を提供すること。
• ヘイゼンベルクおよびウェイルの頂点代数に応用し、標準的Whittakerモジュールの無限大性を証明すること。
• オルビフォルド構成を用いて、$V_{-1/2}(\mathfrak{sl}(2))$ のようなアフィンVOAに対して、新しい無限大モジュールを構成すること。

提案手法

• 各成分が $V^\langle g\rangle$-モジュールとして $W$ に同型である、$V^\langle g\rangle$-階数付きモジュール $\mathcal{M} = \bigoplus_{i=0}^{p-1} W \circ g^i$ を構成する。
• 非ゼロベクトル $(w, \dots, w)$（$w \neq 0$）が $\mathcal{M}$ において巡回的であることを証明し、これにより $W$ が $V^\langle g\rangle$ 上で無限大であることが示される。
• 頂点代数 $V$ に関連するLie代数 $\mathfrak{g}(V)$ 及びその普遍包あくり代数を用い、巡回ベクトル問題を可換代数の設定に還元する。
• $W \cong W \circ g$ の場合に、$\mathbb{Z}_p$ の $W$ への作用に対して一般化されたシュールの補題を適用し、$W$ が $p$ 個の無限大 $V^\langle g\rangle$-モジュールの直和に分解することを示す。
• Weyl代数 $\widehat{\mathcal{A}}$ に対して、$a(n) - \lambda_n$, $a^*(n) - \mu_n$ によって生成される極大左イデアルを用いてWhittakerモジュールを定義し、それらが $\widehat{\mathcal{A}}$-モジュールとして無限大であることを示す。
• Weyl頂点代数 $M$ に定義される自己同型 $g_p$ を $a(n) \mapsto \zeta_p a(n)$, $a^*(n) \mapsto \zeta_p^{-1} a^*(n)$ として定義し、$i = 0, \dots, p-1$ に対して $M_1(\bm{\lambda}, \bm{\mu}) \circ g_p^i$ が異なるWhittaker関数を持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Zhu代数理論に依存せずに、オルビフォルドモジュールの無限大性に関するDong-Mason定理を弱モジュールへと拡張できるか。
• RQ2 無限大弱 $V$-モジュール $W$ が、固定部分代数 $V^{\langle g\rangle}$ 上でも無限大であるための条件は何か。
• RQ3 無限次元Lie代数のWhittakerモジュールは、拡張されたDong-Mason定理の条件を満たす例を構成するためにどのように利用できるか。
• RQ4 $W$ が、twisting によって異なるWhittaker関数を持つWhittakerモジュールであるとき、Weyl頂点代数 $M$ の $\mathbb{Z}_p$-オルビフォルドの構造はどのようなものか。
• RQ5 新しい基準を用いて、$V_{-1/2}(\mathfrak{sl}(2))$ のようなアフィンVOAの無限大モジュールを実現できるか。

主な発見

• もし $W$ が無限大弱 $V$-モジュールであり、すべての $i = 1, \dots, p-1$ に対して $W \circ g^i \ncong W$ ならば、$W$ は弱 $V^{\langle g\rangle}$-モジュールとして無限大である。
• $W \cong W \circ g$ の場合、モジュール $W$ は $p$ 個の無限大 $V^{\langle g\rangle}$-モジュールの直和に分解する。
• Weyl頂点代数 $M$ に対して、標準的Whittakerモジュール $M_1(\bm{\lambda}, \bm{\mu})$ は弱 $M$-モジュールおよび $\widehat{\mathcal{A}}$-モジュールとして無限大である。
• $p=2$ のとき、$\mathbb{Z}_p$-オルビフォルド $M^{\mathbb{Z}_p}$ は単純なアフィンVOA $V_{-1/2}(\mathfrak{sl}(2))$ に同型であり、$\Lambda \neq 0$ のとき $M_1(\bm{\lambda}, \bm{\mu})$ はこのオルビフォルド上で無限大である。
• $M_1(\bm{\lambda}, \bm{\mu})$ は、$\mathfrak{n}$ が $n \geq 0$ に対して $a(n), a^*(n+1)$ で生成するべき等部分代数であるWhittakerペア $(\mathfrak{L}, \mathfrak{n})$ に対するレベル1の標準的Whittakerモジュールである。
• twisted モジュール $M_1(\bm{\lambda}, \bm{\mu}) \circ g_p^i$ は、$\Lambda^{(i)} = (\zeta_p^i \bm{\lambda}, \zeta_p^{-i} \bm{\mu})$ という異なるWhittaker関数を持ち、$M^{\mathbb{Z}_p}$ 上での無限大性の条件を満たしている。