[論文レビュー] On Jones Subgroup of R. Thompson's Group $T$

Jordan Nikkel, Yunxiang Ren|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ジョンズの部分群 $τ T$ を完全に特徴づけ、それが $T$ 内の自己共役群と一致することを証明し、これにより関連するユニタリ表現が既約であることを示している。$τ T$ は円形図形群として有限提示を持つことが示され、Tietze変換による類似の提示を持つにもかかわらず $T_3$ とは同型でないことが示されている。

ABSTRACT

Jones introduced unitary representations for the Thompson groups $F$ and $T$ from a given subfactor planar algebra. Some interesting subgroups arise as the stabilizer of certain vector, in particular the Jones subgroups $\vec{F}$ and $\vec{T}$. Golan and Sapir studied $\vec{F}$ and identified it as a copy of the Thompson group $F_3$. In this paper we completely describe $\vec{T}$ and show that $\vec{T}$ coincides with its commensurator in $T$, implying that the corresponding unitary representation is irreducible. We also generalize the notion of the Stallings 2-core for diagram groups to $T$, showing that $\vec{T}$ and $T_3$ are not isomorphic, but as annular diagram groups they have very similar presentations.

研究の動機と目的

• 図形群理論と平面代数的表現を用いて、ジョンズの部分群 $τ T$ を完全に特徴づける。
• $τ T$ が $T$ 内の自己共役群と一致することを証明し、これにより関連するユニタリ表現が既約であることを示す。
• $F$ からのスタリングス2-コア構成を $T$ に一般化し、部分群の解析に応用する。
• $τ T$ を円形図形群としての有限提示を与える。
• Tietze変換によって関連する提示を持つにもかかわらず、$τ T$ と $T_3$ が同型でないことを示す。

提案手法

• トゥーリンググラフを用いて $τ T$ を定義・分析し、所属のための二部グラフ条件を利用する。
• $T$ の部分群に対してスタリングス2-コアを構成し、$F$ からの方法を円形図形群へ一般化する。
• $τ T$ に2-コア構成を適用し、それが自身と等しいことを示し、これにより円形図形群としての有限提示が得られることを示す。
• コア構造を用いて、生成元と関係式の観点から $τ T$ の有限提示を導出する。
• $τ T$ と $T_3$ を円形図形群の提示に基づいて比較し、要素の位数などの群論的不変量を分析する。
• 二進分数の二進小数表現における偶奇性に着目した議論を用い、$τ T$ と $T_3$ の非同型性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジョンズの部分群 $τ T$ は $T$ 内の自己共役群と一致するか？ そしてこれにより関連するユニタリ表現にどのような意味が生じるか？
• RQ2 スタリングス2-コア構成は $F$ から $T$ に一般化可能か？ また、$T$ の部分群の解析にどのように寄与するか？
• RQ3 $τ T$ を円形図形群としての有限提示は何か？
• RQ4 Tietze変換によって関連する提示を持つにもかかわらず、$τ T$ と $T_3$ は同型でないか？
• RQ5 ${τ T}$ と $[0,1)$ 内の二進分数の二進数の桁の和の偶奇性との正確な関係は何か？

主な発見

• ジョンズの部分群 $τ T$ は $T$ 内の自己共役群と一致しており、これにより関連する $T$ のユニタリ表現が既約であることが示される。
• 部分群 $τ T$ は、$[0,1)$ 内のすべての二進分数について、その二進表現における桁の和の偶奇性を保存または反転するすべての $T$ の元からなる。
• ${τ T}$ のスタリングス2-コアは ${τ T}$ 自身に等しく、これにより ${τ T}$ が円形図形群として有限提示を持つことが保証される。
• 群 ${τ T}$ は円形図形群としての有限提示を持つ：$τ T = π^a(σ, au)$ であり、関係式は $e = ff$、$f = fe$、基本生成元は $e$ である。ここで $σ, au$ は特定の図形語である。
• ${τ T}$ と ${T_3}$ は Tietze 変換によって僅かに異なる提示を持つが、同型ではない。$T_3$ には位数2の元が存在しないのに対し、${τ T}$ には存在する。
• 非同型性の証明は、三進木のペア表現におけるリーフの数の偶奇性に着目した議論に基づく。もし $T_3$ に位数2の元が存在すれば、矛盾が生じることを示している。