[論文レビュー] On Kalton's interlaced graphs and nonlinear embeddings into dual Banach spaces

Bruno de Mendonça Braga, Gilles Lancien+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2019

Advanced Banach Space Theory参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間の非線形埋め込み、特にカールトンのインターリースド・グラフとその分離可能双対空間への粗い埋め込みを妨げる役割に焦点を当てている。性質Qpを導入し、カールトンのインターリースド・グラフが双対空間に等粗リプシッツ的に埋め込まれるならば、そのSzlenk指数がωを超えることを証明した。さらに、Szlenk指数がω²である分離可能双対空間を構成し、依然としてグラフがリプシッツ的に埋め込まれることを示し、この境界が最適であることを示した。また、c₀は分離可能双対空間に歪みが3/2未満の粗いリプシッツ埋め込みをもつことはできないことを証明し、c₀やL₁が分離可能双対空間に弱収束から弱*収束への逐次連続な粗い埋め込みをもつことはないことを示した。

ABSTRACT

We study the nonlinear embeddability of Banach spaces and the equi-embeddability of the family of Kalton's interlaced graphs $([\\mathbb N]^k,d_{\\mathbb K})_k$ into dual spaces. Notably, we define and study a modification of Kalton's property $\\mathcal Q$ that we call property $\\mathcal{Q}_p$ (with $p \\in (1,+\\infty]$). We show that if $([\\mathbb N]^k,d_{\\mathbb K})_k$ equi-coarse Lipschitzly embeds into $X^*$, then the Szlenk index of $X$ is greater than $\\omega$, and that this is optimal, i.e., there exists a separable dual space $Y^*$ that contains $([\\mathbb N]^k,d_{\\mathbb K})_k$ equi-Lipschitzly and so that $Y$ has Szlenk index $\\omega^2$. We prove that $c_0$ does not coarse Lipschitzly embed into a separable dual space by a map with distortion strictly smaller than $\\frac{3}{2}$. We also show that neither $c_0$ nor $L_1$ coarsely embeds into a separable dual by a weak-to-weak$^*$ sequentially continuous map.

研究の動機と目的

• c₀およびカールトンのインターリースド・グラフが分離可能双対バナッハ空間に非線形に埋め込まれるかどうかを調査すること。
• 弱から弱*への逐次連続性などの追加の正則性条件の下で、分離可能双対空間への粗い埋め込みが可能かどうかを特定すること。
• インターリースド・グラフの等粗リプシッツ埋め込みと双対空間のSzlenk指数との関係を分析すること。
• c₀が分離可能双対空間に粗いリプシッツ埋め込みされる際の歪みの鋭い境界を確立すること。

提案手法

• p ∈ (1, ∞]に対して、リプシッツ写像の濃度不等式がk^{1/p}に比例するように定義される、カールトンの性質Qの改良版である新しい性質Qpを導入・研究すること。
• 双対空間が同値なq-AUC*双対ノルム（pの共役q）をもつならば、その空間は性質Qpをもつことを示し、幾何学的バナッハ空間の性質と非線形埋め込みを結びつけること。
• Szlenk指数を双対空間の非分離性の定量的測度として用い、インターリースド・グラフが等粗リプシッツ的に埋め込まれるならばSz(X) > ωであることを示すこと。
• Sz(X) = ω²である分離可能双対空間X∗を構成し、依然として完全なインターリースド・グラフ([N]<ω, dK)がリプシッツ的に埋め込まれることを示し、Szlenk指数の障害の鋭さを示すこと。
• c₀が双対空間X∗に歪みが3/2未満の粗いリプシッツ埋め込みをもつならば、Xがℓ₁の同型コピーを含むことを証明すること。
• 弱から弱*への逐次連続性と点の連続性性質（PCP）を用い、c₀およびL₁が分離可能双対空間に埋め込まれないことを示すために、単位球内で弱収束するがノルムで発散する列を構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 c₀は、歪みが3/2未満の粗いリプシッツ写像によって分離可能双対バナッハ空間に埋め込まれるか？
• RQ2 c₀がバナッハ空間Xに粗く埋め込まれるならば、X^{(n)}が非分離的であるような自然数n ∈ ℕが存在するか？
• RQ3 カールトンのインターリースド・グラフ(([N]k, dK))kが双対空間X∗に等粗リプシッツ的に埋め込まれるならば、Szlenk指数Sz(X)はωを超えるか？
• RQ4 c₀またはL₁は、弱から弱*への逐次連続な写像によって分離可能双対空間に粗く埋め込まれるか？
• RQ5 性質Qpと双対空間における漸近的均等凸性との鋭い関係は何か？

主な発見

• 家族としてのカールトンのインターリースド・グラフ(([N]k, dK))kがX∗に等粗リプシッツ的に埋め込まれるならば、XのSzlenk指数はSz(X) > ωを満たす。
• この境界Sz(X) > ωは最適であり、Sz(X) = ω²である分離可能双対空間X∗が存在し、依然としてグラフ([N]<ω, dK)がリプシッツ的に埋め込まれることを示した。
• c₀は、歪みが3/2未満の分離可能双対空間への粗いリプシッツ埋め込みをもつことはできない。このような埋め込みが存在するならば、Xはℓ₁の同型コピーを含む必要がある。
• c₀およびL₁は、分離可能双対空間に弱から弱*への逐次連続な粗い（あるいは一様な）埋め込みをもつことはない。
• 分離可能双対空間への弱から弱*への逐次連続な粗い埋め込みが存在するならば、元の空間は点の連続性性質（PCP）を満たさないことが示され、c₀およびL₁はPCPを満たさない。
• 性質Qpは粗いリプシッツ不変量であり、双対空間が同値なq-AUC*双対ノルム（qはpの共役）をもつならば、その空間は性質Qpをもつ。