[論文レビュー] On Kiselman quotients of 0-Hecke monoids

Olexandr Ganyushkin, Volodymyr Mazorchuk|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2010

semigroups and automata theory参考文献 25被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、単純なランク付きディンキン図形に付随する0-ヘッケモノイドのキゼルマン商を導入し、0-ヘッケモノイドのブレード関係とキゼルマンの冪等元関係を組み合わせる。これらのモノイドは同型を除いて分類され、J-自明であることが証明され、正確に2^n個の冪等元を持つ。また、A_n型の場合、そのサイズは(n+1)番目のカタラン数C_{n+1}に達し、これは鎖上の順序を保ちかつ順序を減少させる変換のモノイドとして実現される。

ABSTRACT

Combining the definition of 0-Hecke monoids with that of Kiselman semigroups, we define what we call Kiselman quotients of 0-Hecke monoids associated with simply laced Dynkin diagrams. We classify these monoids up to isomorphism, determine their idempotents and show that they are $\mathcal{J}$-trivial. For type $A$ we show that Catalan numbers appear as the maximal cardinality of our monoids, in which case the corresponding monoid is isomorphic to the monoid of all order-preserving and order-decreasing total transformations on a finite chain. We construct various representations of these monoids by matrices, total transformations and binary relations. Motivated by these results, with a mixed graph we associate a monoid, which we call a Hecke-Kiselman monoid, and classify such monoids up to isomorphism. Both Kiselman semigroups and Kiselman quotients of 0-Hecke monoids are natural examples of Hecke-Kiselman monoids.

研究の動機と目的

• オリエンテッド・ディンキン図形を介して0-ヘッケモノイドとキゼルマン半群を組み合わせることで、新たなモノイドのクラスを定義し、研究すること。
• 基礎となる有向グラフの観点から、これらのモノイドを同型を除いて分類すること。
• J-自明性、冪等元の個数、生成系といった構造的性質を特定すること。
• A型におけるカタラン数および既知の変換モノイドとの関係を調査すること。
• 混合グラフへの一般化を図り、ヘッケ-キゼルマンモノイドを定義し、その同型分類を確立すること。

提案手法

• オリエンテッド・ディンキン図形においてi→jのとき、関係式ε_i ε_j ε_i = ε_j ε_i ε_j = ε_i ε_j を用いて0-ヘッケモノイドを商することでキゼルマン商を定義する。
• 0-ヘッケモノイドのブレード関係とキゼルマンの可換冪等元関係を組み合わせ、ハイブリッドなモノイド構造を定義する。
• 与えられた関係式の下でグリーンのJ関係が崩壊することを用いてJ-自明性を証明する。
• 不可約性および最小性の議論により、標準的生成系{ε_i}の一意性を確立する。
• 部分グラフに付随するヘッケ-キゼルマンモノイド間の標準的モノモーフィズムを構成し、同型分類を可能にする。
• 混合グラフに対するヘッケ-キゼルマンモノイドを定義し、モノイドの同型が基礎となるグラフの同型を意味することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 0-ヘッケモノイドのキゼルマン商が同型となる条件は何か？また、これに決定的なグラフ論的不変量は何か？
• RQ2 A_n型の0-ヘッケモノイドのキゼルマン商の最大サイズは何か？また、その最大値はいつ達成されるか？
• RQ3 これらのモノイドの冪等元および生成系はどのように振る舞うか？標準的生成系は一意的か？
• RQ4 基礎となる有向グラフの構造とモノイドの性質（J-自明性、有限性など）の関係は何か？
• RQ5 0-ヘッケモノイドとキゼルマン半群の構成が、より広いクラスのヘッケ-キゼルマンモノイドにおいてどのように統合されるか？

主な発見

• 任意の単純なランク付きディンキン図形Γの任意の向き付けに対して、キゼルマン商モノイドK H_Γ→はJ-自明である。
• モノイドには正確に2^n個の冪等元があり、nはΓの頂点数である。
• 標準的生成系{ε_i}はモノイドの唯一の不可約生成系を形成する。
• A_n型の場合、K H_Γ→の最大サイズは(n+1)番目のカタラン数C_{n+1}に達し、これは向き付けが線形（すなわち有向パス）である場合にのみ達成される。
• 最大サイズのA型の場合、このモノイドはサイズn+1の鎖上のすべての順序を保ちかつ順序を減少させる全変換のモノイドと同型である。
• 混合グラフに付随するヘッケ-キゼルマンモノイドは、同型であるための必要十分条件は、基礎となるグラフが同型であることである。