[論文レビュー] On Kiselman's semigroup

Ganna Kudryavtseva, Volodymyr Mazorchuk|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2005

semigroups and automata theory参考文献 4被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、凸性理論における3要素モノイドの一般化であるキセロウの半群 $\mathrm{K}_n$ の包括的な代数的考察を提供する。非負整数成分の $n \times n$ 行列表現を忠実に構成し、そのサイズの最小性を証明するとともに、グリーンの関係、自己同型、べき等元、既約表現、および半群代数の構造を完全に記述し、$\mathrm{K}_n$ が準特異代数であることを確立する。

ABSTRACT

We study the algebraic properties of the series $\mathrm{K}_n$ of semigroups, which is inspired by \cite{Ki} and has origins in convexity theory. In particular, we describe Green's relations on $\mathrm{K}_n$, prove that there exists a faithful representation of $\mathrm{K}_n$ by $n imes n$ matrices with non-negative integer coefficients (and even explicitly construct such a representation), and prove that $\mathrm{K}_n$ does not admit a faithful representation by matrices of smaller size. We also describe the maximal nilpotent subsemigroups in $\mathrm{K}_n$, all isolated and completely isolated subsemigroups, all automorphisms and anti-automorphisms of $\mathrm{K}_n$. Finally, we explicitly construct all irreducible representations of $\mathrm{K}_n$ over any field and describe primitive idempotents in the semigroup algebra (which we prove is basic).

研究の動機と目的

• 凸性理論から来る3要素モノイドの一般化である $\mathrm{K}_n$ の代数的構造を体系的に調査すること。
• 非負整数上での忠実な $n \times n$ 行列表現の存在を確立し、そのサイズの最小性を証明すること。
• $\mathrm{K}_n$ におけるグリーンの関係、自己同型、反自己同型、および孤立部分半群を完全に記述すること。
• $\mathrm{K}_n$ の任意の体上のすべての既約表現を構成し、半群代数 $\mathbb{K}\mathrm{K}_n$ を分析すること。
• $\mathbb{K}\mathrm{K}_n$ が射影標準モジュールを備えた準特異代数であることを証明すること。

提案手法

• 基礎的な代数的定義として、$\mathrm{K}_n = \langle a_1,\dots,a_n : a_i^2 = a_i,\ a_ia_ja_i = a_ja_ia_j = a_ja_i\ \text{for}\ i < j \rangle$ の提示を用いる。
• 補題1の適用により語を短縮し、最小語代表の長さを評価し、$\mathfrak{l}(w) \leq L(n)$ の上限を得る。
• 集合 $\{1,\dots,n\}$ 上の作用を用いて、idempotent 基底 $e_X^{(n)}$ を通じて忠実な $n \times n$ 行列表現を構成する。
• 行列サイズの最小性の証明には、$X \neq \{1,\dots,n\}$ のとき $\mathbb{K}\mathrm{K}_n e_X^{(n)}$ が忠実でないという事実を用い、より小さい忠実な行列表現が存在しないことを示す。
• $\mathrm{K}_n$ の $\mathbb{K}\mathrm{K}_n$ を $P_1 = \mathbb{K}\mathrm{K}_n a_n$ と $P_2 = \mathbb{K}\mathrm{K}_n (e - a_n)$ に帰納的に分解し、$\mathrm{Hom}(P_1, P_2)$ が消えることから、有向性および準特異性を証明する。
• 射影モジュール $\mathbb{K}\mathrm{K}_n e_X^{(n)}$ を通じた既約表現の明示的構成と、$\mathbb{K}\mathrm{K}_{n-1}$ への同型を用いた自己準同型代数の分析を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathrm{K}_n$ は非負整数成分の $n \times n$ 行列による忠実表現をもつのか。また、そのサイズは最小であるか。
• RQ2 $\mathrm{K}_n$ のグリーンの関係、自己同型、反自己同型は何か。
• RQ3 $\mathrm{K}_n$ のどの部分半群が孤立または完全に孤立しているか。
• RQ4 $\mathrm{K}_n$ の任意の体上の既約表現は何か。また、その半群代数の構造はいかなるものか。
• RQ5 半群代数 $\mathbb{K}\mathrm{K}_n$ は準特異代数か。もしそうならば、どのような順序に関してそうか。

主な発見

• 半群 $\mathrm{K}_n$ は、集合 $\{1,\dots,n\}$ 上の作用を用いて明示的に構成された非負整数成分の $n \times n$ 行列による忠実表現をもつ。
• $X \neq \{1,\dots,n\}$ のとき $\mathbb{K}\mathrm{K}_n e_X^{(n)}$ が忠実でないという事実により、$n \times n$ より小さい行列による忠実な表現は存在しないことが示された。
• $\mathrm{K}_n$ におけるグリーンの関係は完全に記述されており、$\mathcal{L}$-類は $\{1,\dots,n\}$ の部分集合 $X$ によってインデックス付けされている。
• $\mathrm{K}_n$ の自己同型群は自明であり、反自己同型群に対しても同様に自明であるため、高い非対称性が示された。
• 任意の体上の $\mathrm{K}_n$ のすべての既約表現は、射影モジュール $\mathbb{K}\mathrm{K}_n e_X^{(n)}$ に同型であり、半群代数 $\mathbb{K}\mathrm{K}_n$ は基本的かつ準特異的である。
• $\mathbb{K}\mathrm{K}_n$ は部分集合への線形順序に関して有向的であり、射影標準モジュールを備えた準特異構造をもつ。