[論文レビュー] On $L_p$-Solvability of Stochastic Integro-Differential Equations

István Gyöngy, Sizhou Wu|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Bessel潜在空間における解の存在、一意性、正則性を証明することにより、一般化された退化型の確率積分微分方程式（放物型）の$L_p$-可解性を確立する。主な貢献は、すべての$p \geq 2$に対して、補間を用いて時間的正則性を本質的essentially supremumの上限による評価で捉えた$L_p$-推定式の確立である。

ABSTRACT

A class of (possibly) degenerate stochastic integro-differential equations of parabolic type is considered, which includes the Zakai equation in nonlinear filtering for jump diffusions. Existence and uniqueness of the solutions are established in Bessel potential spaces.

研究の動機と目的

• 広範なクラスの退化型確率積分微分方程式（放物型）に対する一般化された解の存在と一意性を確立すること。
• すべての$p \geq 2$および$s \in [0,m]$に対して、Bessel潜在空間$H^s_p$における解の$L_p$-推定式を導出すること。
• ジャンプ拡散およびポアソン確率測度によって駆動される方程式、特に非線形フィルタリングにおけるZakai方程式を含む可解性理論を拡張すること。
• 時間的および空間的正則性を、時間における本質的essentially supremum推定式を通じて特徴付けること。
• 解作用素が$L_p$-基底関数空間において有界かつ連続であることを開発し、非整数の滑らかさインデックスへ補間を可能にする。

提案手法

• Lévyノイズを含むKrylovの結果を一般化したジャンプ拡散に対するItôの公式の使用。
• $p = 2^k$, $k \in \mathbb{N}$のSobolev空間$W^n_p$におけるエネルギー推定とマルティングール不等式を用いた事前推定の構築。
• 元の問題を非退化・滑らか・compactlyなサポートを持つ問題に近似し、$L_p$-空間における弱収束への移行。
• 補間理論（実補間）を用いて、$p = 2^k$における事前推定をすべての$p \geq 2$へ拡張すること。
• $[0,T]$上での関数の本質的essentially supremumが、$r \to \infty$のときの$L_r$-ノルムの極限として表せることを用いて、時間正則性推定式を導出すること。
• $\chi_n(x) = \chi(x/n)$としてカットオフ関数を導入し、データの局所化を行い、近似解の$L_p$-ノルムにおける収束を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 退化型確率積分微分方程式（放物型）が、$L_p$-空間において一意な一般化解を有するための条件は何か？
• RQ2 補間を用いて、$p = 2^k$からすべての$p \geq 2$へ解の$L_p$-推定式をどのように拡張できるか？
• RQ3 Bessel潜在空間$H^s_p$における解の時間的および空間的正則性は、どのように正確に特徴付けられるか？
• RQ4 初期データおよび駆動データから解へ写像する解作用素は、有界性および連続性の観点でどのように振る舞うか？
• RQ5 解ノルムの時間的本質的essentially supremumは、初期データおよび駆動データのノルムでどのように推定できるか？

主な発見

• すべての$p \geq 2$、$r > 1$、$m \in \mathbb{N}_0$に対して、初期値問題(1.1)–(1.2)は空間$\mathbb{U}^m_{r,p}$における一意な一般化解$u$を持つ。
• 解は事前推定式$\mathbb{E} \sup_{t \in [0,T]} |u_t|_{H^s_p}^p \leq N \left( \mathbb{E} |\psi|_{H^s_p}^p + \mathbb{E} \mathcal{K}^p_{s,p}(T) \right)$を満たす。すべての$s \in [0,m]$に対して成り立つ。
• 解作用素$\mathbb{S}$は、$\Psi^m_p \times \mathbb{H}^m_p \times \mathbb{H}^{m+1}_p(l_2) \times \mathbb{H}^{m+i}_p,\mathcal{L}_{p,2}$から$\mathbb{U}^m_{r,p}$への有界かつ連続作用素であり、そのノルムは$d, p, m, T, K, K_\xi, K_\eta$に依存する。
• 非整数$s \in (0,m)$に対して、解は$H^s_p$-値過程として強くcadlag（右連続で左極限を持つ）である。これは実補間と定理4.1(v)の補間不等式によって確立される。
• 時間の本質的essentially supremum推定式は、$r \to \infty$のときの$L_r$-ノルムの極限を取ることで得られ、$\mathbb{E} \sup_{t \in [0,T]} |u_t|_{H^s_p}^p \leq N \left( \mathbb{E} |\psi|_{H^s_p}^p + \mathbb{E} \mathcal{K}^p_{s,p}(T) \right)$が得られる。
• 補題3.10により、$p \in (0,p)$に対しても結果が成り立ち、推定式はすべての$p > 0$へ拡張される。