[論文レビュー] On large deviation probabilities for empirical distribution of branching random walks: Schr{ö}der case and B{ö}ttcher case

Xinxin Chen, Hui He|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、シュレーディンガーおよびボッハラーの場合における超臨界的分岐ランダムウォークの経験的分布の極端な偏差確率を調査する。対称性と有限分散の下で、ステップサイズの尾部挙動（ワイブルまたはガブリー）を分析することにより、正規化された経験的測度が標準正規極限から逸脱する確率の正確な漸近的減衰率を導出し、ラプラス法およびモーメント母関数の分析を用いて鋭い極端な偏差原理を確立する。

ABSTRACT

Given a super-critical branching random walk on $\mathbb{R}$ started from the origin, let $Z\_n(\cdot)$ be the counting measure which counts the number of individuals at the $n$-th generation located in a given set. Under some mild conditions, it is known in \cite{B90} that for any interval $A\subset \mathbb{R}$, $\frac{Z\_n(\sqrt{n}A)}{Z\_n(\mathbb{R})}$ converges a.s. to $ν(A)$, where $ν$ is the standard Gaussian measure. In this work, we investigate the convergence rates of $$\mathbb{P}\left(\frac{Z\_n(\sqrt{n}A)}{Z\_n(\mathbb{R})}-ν(A)>Δ ight),$$ for $Δ\in (0, 1-ν(A))$, in both Schr{ö}der case and B{ö}ttcher case.

研究の動機と目的

• 分岐ランダムウォークの経験的分布が極端な偏差領域において正規極限に収束する速度を理解すること。
• 正規化された経験的測度が正規測度から固定された偏差を上回る確率の正確な漸近的減衰率を導出すること。
• 一般な尾部仮定の下で、ステップサイズ分布の尾部挙動を分析することにより、既存の結果をシュレーディンガーの場合（p1 > 0）およびボッハラーの場合（p0 = p1 = 0）に拡張すること。
• 両ケースにおける経験的測度の極端な偏差原理を確立すること、特にステップサイズがワイブルまたはガブリーの尾部挙動を示す場合に焦点を当てる。

提案手法

• 解析は、分岐過程のモーメント母関数にラプラス法を適用することに依存し、増殖と移動の独立性を活用する。
• 著者らは、全人口サイズに条件づけるために測度変換技術を用い、問題を独立同分布の和の極端な偏差に還元する。
• 主要な推定は、累積量生成関数 $\Lambda(\theta)$ 及びその凸共役 $I_A(p)$ を用いて得られ、これは偏差のレート関数を特徴付ける。
• ワイブル尾部の場合、指数モーメントを用いた尾部確率の上限評価と、$x^\alpha$ 上の凸性議論を適用する。
• ガブリー尾部の場合、二重指数的尾部推定と対数的漸近論を用いて、極端な偏差確率の減衰を制御する。
• 証明は、$L_{k+1} = \alpha(\Lambda(\theta) - \Lambda(L_k))$ で定義される再帰的列 $L_k$ を活用し、$\theta$ に収束することにより、ラプラス法の有効性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュレーディンガーの場合における、極端な偏差確率 $\mathbb{P}\left(\bar{Z}_n(\sqrt{n}\sigma^2 A) - \nu(A) \geq \Delta\right)$ の正確な減衰率は何か？
• RQ2 ステップサイズの尾部挙動（ワイブルまたはガブリー）が、ボッハラーの場合の極端な偏差レートにどのように影響するか？
• RQ3 一般なモーメントおよび尾部条件（有界でないステップサイズを含む）のもとで、経験的測度の極端な偏差原理を確立できるか？
• RQ4 累積量生成関数 $\Lambda(\theta)$ は、経験的測度の偏差のレート関数を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• ワイブル尾部を持つステップサイズ（$\mathbb{P}(X \geq x) = \Theta(1)e^{-\lambda x^\alpha}$）に対して、極端な偏差確率は $\lambda a^\alpha$ に支配される減衰率を示し、$\limsup_{n\to\infty} \frac{t_n^{\alpha-1}}{n^{\alpha/2}} \log \mathbb{P}(\sum_{i=1}^{t_n} X_i \geq a\sqrt{n}) \leq -\lambda a^\alpha$ が成り立つ。
• ガブリー尾部を持つステップサイズ（$\mathbb{P}(X \geq x) = \Theta(1)e^{-e^{x^\alpha}}$）に対して、対数確率の減衰率は $\liminf_{n\to\infty} \frac{t_n^\alpha}{n^{\alpha/2}} \log[-\log \mathbb{P}(\sum_{i=1}^{t_n} X_i \geq a\sqrt{n})] \geq a^\alpha$ を満たす。
• 経験的測度 $\bar{Z}_n(\sqrt{n}\sigma^2 A)$ が正規測度 $\nu(A)$ に収束する速度は、累積量生成関数 $\Lambda(\theta)$ から導かれるレート関数 $I_A(p)$ を持つ極端な偏差原理によって特徴付けられる。
• 再帰的列 $L_k$ は $L_{k+1} = \alpha(\Lambda(\theta) - \Lambda(L_k))$ で定義され、$\theta$ に収束するため、漸近的解析におけるラプラス法の有効性が保証される。
• $X$ が対称的で $\mathbb{E}[X^2] = 1$ であり、ある $\theta > 0$ に対して $\mathbb{E}[e^{\theta Z_1(\mathbb{R})}] < \infty$ であるという仮定のもと、結果は成り立つ。これは指数モーメントの存在を保証する。