[論文レビュー] On Legendre's, Brocard's, Andrica's, and Oppermann's Conjectures

Germán Paz|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Conjecture 1：$ n^2 $ と $ (n+1)^2 $ の間の厳密に連続する $ n $ 個の整数の列は、すべて少なくとも1つの素数を含むという仮説を調査する。もしConjecture 1 がすべての $ n $ に対して成り立つならば、Legendreの、Brocardの、Andricaの、Oppermannの予想がすべて導かれる。著者らは、すべての $ n \leq 1,193,806,023 $ に対してConjecture 1を計算的に検証し、長年にわたり未解決の素数分布に関する予想に強い経験的根拠を提供した。

ABSTRACT

Let $n\in\mathbb{Z}^+$. Is it true that every sequence of $n$ consecutive integers greater than $n^2$ and smaller than $(n+1)^2$ contains at least one prime number? In this paper we show that this is actually the case for every $n \leq 1,193,806,023$. In addition, we prove that a positive answer to the previous question for all $n$ would imply Legendre's, Brocard's, Andrica's, and Oppermann's conjectures, as well as the assumption that for every $n$ there is always a prime number in the interval $[n,n+2\lfloor\sqrt{n} floor-1]$.

研究の動機と目的

• 連続する平方数の間の素数分布に関する新しい予想の妥当性を調査すること。
• この予想と素数論における4つの主要な未解決予想（Legendreの、Brocardの、Andricaの、Oppermannの予想）との論理的関係を確立すること。
• すべての $ n \leq 1,193,806,023 $ に対してこの予想の計算的検証を提供すること。
• 予想の肯定的解答が、すべての正の整数 $ n $ に対して区間 $[n, n + 2\lfloor\sqrt{n}\rfloor - 1]$ に素数が存在することを示すこと。

提案手法

• Conjecture 1の形式化：$ (n^2, (n+1)^2) $ の範囲内で、$ n $ 個の連続する整数の列が少なくとも1つの素数を含むこと。
• 最大素数ギャップ法の使用：素数 $ P $ の直後に最大ギャップ $ G $ が続くとき、$ G < \lfloor\sqrt{P}\rfloor $ ならば、Conjecture 1 は $ n \in [G-1, \lfloor\sqrt{P}\rfloor - 1] $ に対して成り立つ。
• 計算的検証を $ n = 1,193,806,023 $ まで適用し、この範囲でConjecture 1 が成り立つことを確認。
• 含意の導出：Conjecture 1 が真であれば、Legendreの、Brocardの、Andricaの、Oppermannの予想もすべて真である。
• Conjecture 1 が真であると仮定した場合、区間 $[n, n + 2\lfloor\sqrt{n}\rfloor - 1]$ に少なくとも1つの素数が存在することを示す。
• 床関数の恒等式と不等式を用いて区間長を比較し、$ a + 2\lfloor\sqrt{a}\rfloor - 1 \geq a + \lfloor\sqrt{a}\rfloor $ を示し、より広い区間に関する主張を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ n^2 $ と $ (n+1)^2 $ の間の厳密に連続する $ n $ 個の整数の列は、すべて少なくとも1つの素数を含むか？
• RQ2 Conjecture 1 がすべての $ n $ に対して成り立つならば、それは論理的に Legendreの、Brocardの、Andricaの、Oppermannの予想を含意するか？
• RQ3 Conjecture 1 を計算的に検証できる最大の $ n $ は何か？
• RQ4 Conjecture 1 が成り立つと仮定した場合、区間 $[n, n + 2\lfloor\sqrt{n}\rfloor - 1]$ に素数が保証されるか？
• RQ5 $ n $ と $ \lfloor\sqrt{n}\rfloor $ の偶奇は、部分区間における素数の存在にどのような影響を与えるか？

主な発見

• Conjecture 1 はすべての $ n \leq 1,193,806,023 $ に対して計算的に検証され、成り立つことが確認された。
• Conjecture 1 がすべての $ n $ に対して真であるならば、Legendreの予想 — すなわち $ n^2 $ と $ (n+1)^2 $ の間に常に素数が存在する — がその結果として導かれる。
• 同じ仮定のもとで、Brocardの予想 — $ n \geq 2 $ に対して $ p_n^2 $ と $ p_{n+1}^2 $ の間に少なくとも4つの素数が存在する — も成り立つ。
• Andricaの予想 — $ \sqrt{p_{n+1}} - \sqrt{p_n} < 1 $ — も Conjecture 1 から導かれる。
• Oppermannの予想 — $ n > 1 $ に対して $ (n^2 - n, n^2) $ および $ (n^2, n^2 + n) $ の両方の区間内に少なくとも1つの素数が存在する — は Conjecture 1 から導かれる。
• Conjecture 1 が真であると仮定した場合、すべての正の整数 $ n $ に対して区間 $[n, n + 2\lfloor\sqrt{n}\rfloor - 1]$ に少なくとも1つの素数が存在する。