[論文レビュー] On length spectrum metrics and weak metrics on Teichmueller spaces of surfaces with boundary

Lixin Liu, Athanase Papadopoulos+2 more|ArXiv.org|Mar 4, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、境界を持つ曲面のテイコフラー空間における長さスペクトル計量および弱計量を、基本的単純閉曲線および正しく埋め込まれた弧の双曲的長さに基づいて導入し、分析する。これらの計量がテイコフラー空間上で同じ位相を誘導することを確立し、二重化構成と空間の厚い部分における比較を用いて、既知の閉曲面に関する結果を境界を持つ曲面へと拡張する。

ABSTRACT

We define and study metrics and weak metrics on the Teichmueller space of a surface of topologically finite type with boundary. These metrics and weak metrics are associated to the hyperbolic length spectrum of simple closed curves and of properly embedded arcs in the surface. We give a comparison between the defined metrics on regions of Teichmueller space which we call $\varepsilon_0$-relative $ε$-thick parts} for $ε>0$ and $\varepsilon_0\geq ε>0$.

研究の動機と目的

• 境界を持つ曲面のテイコフラー空間における長さスペクトル計量および弱計量を、基本的単純閉曲線および正しく埋め込まれた弧の双曲的長さを用いて定義し、研究すること。
• 特に、テイコフラー空間の ε₀-相対 ε-厚い部分におけるこれらの計量の位相的挙動を比較すること。
• 二重化構成を用いて、閉曲面に関する結果を境界を持つ曲面へと拡張すること。また、長さ比の観点から収束を分析すること。
• 長さスペクトル計量 d_L、その対称化、および弱計量が、テイコフラー空間上で同じ位相を誘導することを確立すること。

提案手法

• 二つのマークされた双曲的構造間の基本的単純閉曲線の双曲的長さ比を用いて、テイコフラー空間上に二つの非対称弱計量 d と d̄ を定義する。
• d の対称化として長さスペクトル計量 d_L を定義し、すべての基本的曲線 α における長さ比の対数の上界として定義する。
• 曲面 S の二重 S^d を用いて、S 上の計量と閉曲面における計量を関連づけ、既知の収束結果を文献から活用する。
• テイコフラー空間の ε₀-相対 ε-厚い部分における収束を分析する。ここで、すべての基本的曲線および弧の長さは ε 以上に有界である。
• 二重写像と長さ比の極限を介して、d、d̄、d_L、δ_L の収束の同値性を証明する。
• Fenchel-Nielsen座標を用いて、二重面上で、これらの計量のいずれかでの収束が、テイコフラー空間の標準位相での収束を意味することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界を持つ曲面のテイコフラー空間における長さスペクトル計量および弱計量は、標準位相と同じ位相を誘導するか？
• RQ2 ε > 0 および ε₀ ≥ ε > 0 のとき、長さスペクトル計量はテイコフラー空間の ε₀-相対 ε-厚い部分でどのように振る舞うか？
• RQ3 弱計量 d の対称化は、標準的長さスペクトル計量 d_L と収束の観点で同値か？
• RQ4 弱計量 d および d̄ での収束は、基本的曲線および弧の長さ比の収束によって特徴付けられるか？
• RQ5 二重化構成は、この文脈において計量の同値性および位相的収束を保存するか？

主な発見

• 長さスペクトル計量 d_L および弱計量 d と d̄ は、すべて同じ位相をテイコフラー空間に誘導する。収束の同値性を証明することでこれを示す。
• d_L での収束は、すべての基本的曲線 α における l_X(α)/l_X₀(α) の下限および上限が 1 に収束することと同値である。
• 長さ比に基づく対称化弱計量 δ_L が誘導する位相は、d_L および標準位相と一致する。
• ε > 0 のとき、テイコフラー空間の ε₀-相対 ε-厚い部分において、計量 d_L と δ_L は一様に同値である。
• 計量 d、d̄、d_L、δ_L のいずれかでの収束は、二重面上の Fenchel-Nielsen座標を用いて確認された標準位相での収束を意味する。
• 本稿は、二重化構成が計量の同値性を保存することを確認し、閉曲面に関する結果を境界を持つ曲面へと拡張可能であることを示している。