[論文レビュー] On limitation of mass spectrum in non-Hermitian $\cal PT$-symmetric models with the $\gamma_5$-dependent mass term

V.N. Rodionov|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2013

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、質量項 m → m₁ + γ₅m₂ に γ₅ 依存性を持つ非ヒルベルト的 PT 対称ディラック模型を調査し、物理的質量が m ≤ m₁²/(2m₂) で有界であることを示している。m₂ = m₁/√2 のとき最大質量 m_max = m₁²/(2m₂) をとる。不変 PT 対称性領域は三つの部分領域に分割され、最初の領域（m₂ < m₁/√2）のみがヒルベルト的極限を許し、通常のフェルミオンを記述する。一方、第三の領域（m₂ > m₁/√2）はヒルベルト的極限を持たない、特異な粒子を記述する。

ABSTRACT

The modified Dirac equations for the massive particles with the replacement of the physical mass $m$ with the help of the relation $m ightarrow m_1 + \gamma_5 m_2$ are investigated. It is shown that for a free fermion theory with a $\gamma_5$ mass term, the finiteness of the mass spectrum at the value $ m_{max}= {m_1}^2/2m_2$ takes place. In this case the region of the unbroken $\cal PT$-symmetry may be expressed by means of the simple restriction of the physical mass $m\leq m_{max}$. Furthermore, we have that the areas of unbroken $\cal PT$-symmetry $m_1\geq m_2\geq 0$, which guarantees the reality values of the physical mass $m$, consists of three different parametric subregions: i) $0\leq m_2 < m_1/\sqrt{2}$, \,\,ii) $m_2=m_1/\sqrt{2}=m_{max},$ \,\,(iii)$m_1/\sqrt{2}< m_2 \leq m_1$. It is vary important, that only the first subregion (i) defined mass values $m_1,m_2,$ which correspond to the description of traditional particles in the modified models, because this area contain the possibility transform the modified model to the ordinary Dirac theory. The second condition (ii) is defined the "maximon" - the particle with maximal mass $m=m_{max}$. In the case (iii) we have to do with the unusual or "exotic" particles for description of which Hamiltonians and equations of motion have no a Hermitian limit. The formulated criterions may be used as a major test in the process of the division of considered models into ordinary and "exotic fermion theories".

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、非ヒルベルト的 PT 対称フェルミオン模型における γ₅ 依存質量項の物理的解釈を明確化することである。
• スペクトルが実数のままであり、理論が PT 対称性のもとで不変である条件を調査することである。
• パrameter m₁ と m₂ の振る舞いに基づき、このような模型における通常のフェルミオンと特異な粒子を区別することである。
• 最大質量の幾何的アプローチと代数的非ヒルベルト的場理論との間の関係を確立することである。
• 標準的フェルミオンか特異的フェルミオンかを記述するモデルを分類する基準を提供することである。

提案手法

• 研究は、質量項に γ₅ 依存性を持つ修正されたディラック方程式を用いる：(iγᵘ∂ᵤ - m₁ - γ₅m₂)ψ = 0。
• スペクトルが実数のままである領域を特定するために、PT 対称性解析を適用する。
• 非ヒルベルト的ハミルトニアンとヒルベルト的ハミルトニアンを関係付けるために、メトリック演算子 η = e^{γ₅ϑ}（ϑ = arctanh(m₂/m₁)）を導入する。
• 物理的質量 m = √(m₁² + m₂²) を導出し、不変 PT 対称性のもとで m ≤ m_max = m₁²/(2m₂) が成り立つことを示す。
• パrameter 空間を m₁ と m₂ に基づき三つの部分領域に分類し、ヒルベルト的極限の存在を分析する。
• 重み演算子 η を用いて正定値内積を定義し、確率保存を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 γ₅ 依存質量項を有する非ヒルベルト的 PT 対称ディラック模型において、許容される物理的質量の最大値は何か？
• RQ2 m₁ と m₂ がどのような条件下で、モデルが不変 PT 対称性を示すか？
• RQ3 m₂ < m₁/√2、m₂ = m₁/√2、m₂ > m₁/√2 の各領域における粒子の物理的性質はどのように異なるか？
• RQ4 γ₅ 質量項を有するモデルは、どのような極限で標準的ディラック理論に還元可能か？もし可能であれば、その条件は何か？
• RQ5 この枠組みにおいて、「特異な」フェルミオンと通常のフェルミオンをどのように区別できるか、特にヒルベルト的極限の欠如に注目して。

主な発見

• 物理的質量は上界 m_max = m₁²/(2m₂) で有界であり、m₂ = m₁/√2 のときこれを達成する。
• 不変 PT 対称性領域は m₁² ≥ m₂² で定義され、三つの部分領域に分割される：(i) 0 ≤ m₂ < m₁/√2、(ii) m₂ = m₁/√2、(iii) m₁/√2 < m₂ ≤ m₁。
• ヒルベルト的極限を許すのは部分領域 (i) のみであり、これは通常のフェルミオンに対応する。
• 部分領域 (ii) は「マキシモン」として知られる、最大質量 m_max = m₁²/(2m₂) を持つ粒子に対応する。
• 部分領域 (iii) はヒルベルト的極限を持たず、標準的ディラック理論に還元できない「特異な」フェルミオンを記述する。
• パrameter m₁ と m₂ は補助的である。物理的内容は組み合わせ m = √(m₁² + m₂²) によって決定され、m_max = m₁²/(2m₂) が上限として与えられる。