[論文レビュー] On local coefficients for non-generic representations of some classical groups

Solomon Friedberg, David Theo Goldberg|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 1996

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非アーチメデス的局所体上の分割直交群および準分裂ユニタリ群の非一般型表現について、Whittakerモデルの代わりに一意な一般化Besselモデルを支持するものとして研究している。誘導におけるBessel関数の正則性を確立し、最小Besselモデルに対するRodierの定理の類似を証明し、Bessel関数を持つ超臨界的表現およびその誘導成分の局所係数を定義することで、古典的群における非一般型自動形式の理論を前進させている。

ABSTRACT

This paper is concerned with representations of split orthogonal and quasi-split unitary groups over a nonarchimedean local field which are not generic, but which support a unique model of a different kind, the generalized Bessel model. The properties of the Bessel models under induction are studied, and an analogue of Rodier's theorem concerning the induction of Whittaker models is proved for Bessel models which are minimal in a suitable sense. The holomorphicity in the induction parameter of the Bessel functional is established. Last, local coefficients are defined for each irreducible supercuspidal representation which carries a Bessel functional and also for a certain component of each representation parabolically induced from such a supercuspidal.

研究の動機と目的

• 古典的群における非一般型表現にまで局所係数の理論を一般化する。
• パラボリック誘導における一般化Besselモデルの振る舞いを研究する。
• 誘導パラメータにおけるBessel関数の正則性を確立する。
• Bessel関数を持つ既約超臨界的表現の局所係数を定義する。
• Whittakerモデルに関するRodierの定理を最小Besselモデルの設定に一般化する。

提案手法

• Whittakerモデルの代わりに一意な一般化Besselモデルを支持する既約超臨界的表現の構造を分析する。
• パラボリック誘導を用いて、超臨界的表現からBessel関数を持つ表現を構成する。
• 表現論における解析的技法を用いて、Bessel関数が誘導パラメータに関して正則であることを証明する。
• Whittakerモデルに関するRodierの基準に類似したBesselモデルの最小性に関する基準を確立する。
• 誘導された設定におけるBessel関数の関数方程式を通じて局所係数を定義する。
• Besselモデルの一意性を用いて、係数系のwell-definednessを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的群における一般化Besselモデルは、パラボリック誘導においてどのように振る舞うか？
• RQ2 誘導パラメータにおけるBessel関数の正則性を保証する条件は何か？
• RQ3 Whittakerモデルに関するRodierの定理の類似を最小Besselモデルに対して確立できるか？
• RQ4 Bessel関数を持つ非一般型表現のための局所係数はどのように定義できるか？
• RQ5 パラボリック誘導表現のうち、Bessel関数を持つ成分の構造は何か？

主な発見

• パラボリック誘導表現に関連するBessel関数は、誘導パラメータに関して正則である。
• 最小Besselモデルに対してRodierの定理の類似が成り立つ。これは、モデルの一意性を用いて既約性を特徴づける。
• Bessel関数をもつ各既約超臨界的表現に対して局所係数がwell-definedである。
• このような超臨界的表現から誘導された各表現の特定の成分に対しても局所係数が定義される。
• 一般化Besselモデルは、非一般型表現に対して一意なモデルを提供し、Whittakerモデルの役割を置き換える。
• Besselモデルの枠組みを通じて、局所係数の理論が一般型表現にとどまらず、非一般型表現へと拡張された。