[論文レビュー] On local zeta-integrals for GSp(4) and GSp(4) x GL(2)

David Loeffler|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非アーチメデス的局所体上での一般表現に対する $\mathrm{GSp}(4) \times \mathrm{GL}(2)$ の $L$-因子とノヴォドヴォルスキーの局所 zeta 積分的定義の整合性を確立する。特に、$\mathrm{GL}(2)$ 表現が超臨界的でない場合に成立する。さらに、$L$-因子の例外的および部分正則な極の背後にあるラングランズパラメータの条件を同定し、特に可約または非一般表現に対する Gan–Gross–Prasad 型の分岐則に帰結を導く。

ABSTRACT

We prove that Novodvorsky's definition of local L-factors for generic representations of GSp(4) x GL(2) is compatible with the local Langlands correspondence when the GL(2) representation is non-supercuspidal. We also give an interpretation in terms of Langlands parameters of the "exceptional" poles of the GSp(4) x GL(2) L-factor, and of the "subregular" poles of the GSp(4) L-factor studied in recent work of Roesner and Weissauer.

研究の動機と目的

• ノヴォドヴォルスキーの $\mathrm{GSp}(4) \times \mathrm{GL}(2)$ の $L$-因子の zeta 積分的定義が、$\mathrm{GL}(2)$ 表現が超臨界的でない場合に標準的 $L$-因子と一致することを証明すること。
• 特に $\mathrm{GSp}(4)$ と $\mathrm{GL}(2)$ パラメータのテンソル積における非分岐和成分を介して、$\mathrm{GSp}(4) \times \mathrm{GL}(2)$ $L$-因子の例外的極をラングランズパラメータの観点から解釈すること。
• $\mathrm{GSp}(4)$ $L$-因子の部分正則極の概念的解釈をラングランズパラメータを用いて与え、1次元および2次元の自己双対的非分岐和成分を区別すること。
• 特に可約または非一般表現に対する Gan–Gross–Prasad 型の分岐則に帰結を導くこと。

提案手法

• ノヴォドヴォルスキーの $\mathrm{GSp}(4) \times \mathrm{GL}(2)$ の zeta 積分とパイアチェツキ＝シャポロの $\mathrm{GSp}(4)$ の zeta 積分との関係を、分岐ベッセルモデルの選択に依存して用いる。
• 既知の一致を活用して、局所ラングランズ対応とシャハイディの方法を用いて $L$-因子を比較する。
• 条件 $\chi_\pi \chi_\sigma |\cdot|^{2s_0} = 1$ を用いて $L$-因子の極を分析し、例外的極が $\phi_\pi \otimes \phi_\sigma$ のラングランズパラメータにおける非分岐和成分に対応することを結びつける。
• 例外的極を検出する基準として、比 $\frac{L(\pi \times \sigma, s) L(\pi \times \sigma, s+1)}{L(\pi \times \sigma \times \mathrm{St}, s+\frac{1}{2})}$ を用い、補題 7.1 に依拠する。
• Rösner と Weissauer の $\mathrm{GSp}(4)$ $L$-因子に関する結果と、Moeglin–Waldspurger の多重度に関する結果を用いて、$\mathrm{SO}(4,F)$-不変ホモモーフィズムの分岐則を分析する。
• 表現 $\Xi = \Sigma \boxtimes \Sigma$ におけるフィルトレーション技術を用い、特に $s = -\frac{1}{2}$ における振る舞いに注目して、$\mathrm{Hom}_H(\pi \otimes \Xi, \mathbb{C})$ の次元を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノヴォドヴォルスキーの $\mathrm{GSp}(4) \times \mathrm{GL}(2)$ の $L$-因子の zeta 積分的定義が、$\mathrm{GL}(2)$ 表現が超臨界的でない場合に標準的 $L$-因子と一致するか？
• RQ2 $\mathrm{GSp}(4) \times \mathrm{GL}(2)$ $L$-因子の例外的極のラングランズパラメータ理論的解釈は何か？
• RQ3 $\pi$ のラングランズパラメータにどのような条件が満たされると、$s_0$ が $\mathrm{GSp}(4)$ $L$-因子の部分正則極となるか？
• RQ4 これらの $L$-因子の極構造が、$\mathrm{SO}(4,F)$-不変ホモモーフィズムの多重度に及ぼす影響は何か？

主な発見

• 定理 A は、$\mathrm{GL}(2)$ 表現が超臨界的でない場合（特に主系列およびシュタインベルク表現を含む）に、ノヴォドヴォルスキーの $L^\mathrm{Nov}$-因子が標準的 $L$-因子と一致することを確認する。
• 定理 B は、同じ超臨界的でない仮定の下で、$L^\mathrm{Nov}(\pi \times \sigma, s)$ の例外的極が、比 $\frac{L(\pi \times \sigma, s) L(\pi \times \sigma, s+1)}{L(\pi \times \sigma \times \mathrm{St}, s+\frac{1}{2})}$ の極と正確に一致することを確立する。
• 定理 C は、$\mathrm{GSp}(4)$ $L$-因子の極 $s_0$ が部分正則であるための必要十分条件として、$\pi$ のラングランズパラメータが 1 次元非分岐和成分、またはシュタインベルクパラメータの自己双対的非分岐捩りの 2 次元和成分を含むことであることを示す。
• $\pi$ が一般的で、$\sigma = \Sigma \boxtimes \sigma$ で $\Sigma$ が $\mathrm{SO}(3,F)$ のシュタインベルク表現であるとき、空間 $\mathrm{Hom}_{\mathrm{SO}(4,F)}(\pi \otimes \sigma, \mathbb{C})$ の次元は 1 以下であり、$s = -\frac{1}{2}$ が $L(\pi, s)$ の部分正則極でない限り、ちょうど 1 である。
• $\mathrm{Hom}_H(\pi \otimes \Xi, \mathbb{C})$ 内の標準的な非ゼロホモモーフィズム $\mathfrak{z}$ が $\Xi_{00} = \mathrm{St} \boxtimes \mathrm{St}$ に非自明に制限されるのは、$s = -\frac{1}{2}$ が $L(\pi, s)$ の部分正則極でない場合に限る。
• $s = -\frac{1}{2}$ が部分正則極でない場合、$\mathrm{Hom}_H(\pi \otimes \Xi, \mathbb{C})$ は 1 次元であり、$\mathfrak{z}$ で張られ、$\Xi$ の非一般部分商のすべてが $\pi$ と $H$-不変ホモモーフィズム空間を自明に持つ。