[論文レビュー] On Mœglin's parametrization of Arthur packets for p-adic quasisplit $Sp(N)$ and $SO(N)$

Bin Xu|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$p$-進の擬対称的シンプレクティック群および正規直交群 $Sp(N)$ と $SO(N)$ に対するアーチュール・パケージのモーグリーンのパrametrizationについて包括的なサーベイを提供し、彼女の構成をアーチュールの元来のフレームワークと比較している。表現が $W_F \times SL(2,\mathbb{C}) \times SL(2,\mathbb{C})$ を含む特定の $L$-パrametrizationによってパラメトライズされることを確立し、第二の $SL(2,\mathbb{C})$ がモノドロミー情報を符号化しており、モーグリーンの構成がそのようなパラメータとパケージ内の既約表現との間で全単射を与えることを証明している。

ABSTRACT

We give a survey on Mœglin's construction of representations in the Arthur packets for $p$-adic quasisplit symplectic and orthogonal groups. The emphasis is on comparing Mœglin's parametrization of elements in the Arthur packets with that of Arthur.

研究の動機と目的

• $p$-進の擬対称的 $Sp(N)$ および $SO(N)$ に対するアーチュール・パケージ内の表現のモーグリーンの構成を明確化し体系化すること。一般線形群の場合に比べてまだ理解が浅い状況である。
• アーチュールの元来のフレームワークと比較して、特に $L$-パラメータとその幾何的解釈の観点から、モーグリーンのアーチュール・パケージ要素のパラメトライゼーションを検討すること。
• 一般化されたスペヒ表現 $Sp(St(\rho,a),b)$ が、シンプレクティック群および正規直交群の離散系列およびアーチュール・パケージの構成の基本的ブロックをなすことを確立すること。
• ユニタリな $\psi|_{W_F}$ および代数的関数である $\psi|_{SL(2,\mathbb{C}) \times SL(2,\mathbb{C})}$ を持つ $L$-パラメータ $\psi: W_F \times SL(2,\mathbb{C}) \times SL(2,\mathbb{C}) \to GL(n,\mathbb{C})$ を用いたアーチュール・パケージのパラメトライゼーションが、パケージ内の既約表現と全単射をなすことを示すこと。
• 基本的パラメータに制限した場合に、一般化されたオーベルト双対性の理論をシンプレクティックおよび正規直交の場合に拡張し、パラメトライゼーションと整合することを証明すること。

提案手法

• 一般線形群 $GL(n)$ のゼレヴィンスキー分類理論を用いて、セグメント $[x,y]$ および一般化されたセグメント（減少／増加の行と列を持つ行列）を定義し、その唯一の既約部分表現を $<\{x_{ij}\}_{m\times n}>$ と表記する。
• 一般化されたスぺヒ表現 $Sp(St(\rho,a),b)$ を、正規化された誘導 $\prod_{i=-(b-1)/2}^{(b-1)/2} St(\rho,a)||^{i}$ の唯一の既約部分表現として構成し、特定の $m\times n$ 行列の指数によって符号化される。
• $Sp(N)$ および $SO(N)$ のアーチュール・パケージを、$\sum l_i a_i b_i d_{\rho_i} = N$ を満たすタプル $(\rho_i, a_i, b_i, l_i)$ を用いてパラメトライズし、パケージ要素を $\prod_i \big(\prod_{j=1}^{l_i} Sp(St(\rho_i,a_i),b_i)\big)$ として与える。
• $L$-パラメータ $\psi = \bigoplus l_i (\rho_i \otimes \nu_{a_i} \otimes \nu_{b_i})$ を特定し、ここで $\nu_k$ は $SL(2,\mathbb{C})$ の $(k-1)$-番目の対称冪表現であるとし、これがパケージ要素と全単射をなすことを示す。
• パラボリック誘導およびジャケット関手を用いて、$<x_0$-セグメントに制限された $inv_{<X_0}$ として定義される一般化されたオーベルト双対性をパケージ内の表現に適用し、トレース恒等式を用いてパラメトライゼーションと整合することを証明する。
• 恒等式 $[inv_{<X_0}(\pi)] = \overline{inv}_{<X_0}([\pi])$ を用い、最終的にエンデスコピック設定におけるルート系およびワイル群の解析を通じて、基本的パラメータに対して一般化されたオーベルト図式（6.9）および（6.17）の可換性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モーグリーンの $p$-進 $Sp(N)$ および $SO(N)$ に対するアーチュール・パケージ表現のパラメトライゼーションは、アーチュールの元来のフレームワークとどのように比較できるか？
• RQ2 アーチュール・パケージ内の $Sp(N)$ および $SO(N)$ の表現を分類する $L$-パラメータ $\psi: W_F \times SL(2,\mathbb{C}) \times SL(2,\mathbb{C}) \to GL(n,\mathbb{C})$ の正確な構造は何か？
• RQ3 一般化されたスペヒ表現 $Sp(St(\rho,a),b)$ は、シンプレクティック群および正規直交群の離散系列およびアーチュール・パケージの構成において、どのように基本的ブロックとして現れるか？
• RQ4 一般化されたオーベルト双対性は、アーチュール・パケージのパラメトライゼーションとどのような意味で整合するのか？また、どのような条件下でパケージ構造と可換になるか？
• RQ5 $L$-パラメータにおける第二の $SL(2,\mathbb{C})$ 因子は、アーチュール・パケージ内の表現のモノドロミー情報をどのように符号化するか？

主な発見

• モーグリーンの構成は、$p$-進の $Sp(N)$ および $SO(N)$ に対するアーチュール・パケージ内の既約表現と、$\psi|_{W_F}$ がユニタリで、$\psi|_{SL(2,\mathbb{C}) \times SL(2,\mathbb{C})}$ が代数的であるような $L$-パラメータ $\psi: W_F \times SL(2,\mathbb{C}) \times SL(2,\mathbb{C}) \to GL(n,\mathbb{C})$ の間で全単射を与える。
• 一般化されたスペヒ表現 $Sp(St(\rho,a),b)$ は、$b$ 個の $St(\rho,a)$ の正規化誘導の唯一の既約部分表現として実現され、$||^{-(b-1)/2}$ から $||^{(b-1)/2}$ までの文字でねじれたものであり、特定の $b \times a$ 行列の指数に対応する。
• $Sp(N)$ および $SO(N)$ のアーチュール・パケージは、$l_i$ 個の $Sp(St(\rho_i,a_i),b_i)$ の積によって生成され、合計次元条件 $\sum l_i a_i b_i d_{\rho_i} = N$ を満たす。
• パラメータの第二の $SL(2,\mathbb{C})$ 因子はモノドロミー情報を符号化しており、$\nu_{a_i}$ は $(a_i-1)$-番目の対称冪表現であり、パケージ内の表現を区別するために不可欠である。
• 一般化されたオーベルト双対性 $inv_{<X_0}$ はパケージ構造を保存し、基本的パラメータに制限した場合、トレース恒等式およびルート系上のワイル群作用を用いてパラメトライゼーションと可換であることが示された。
• $G(n - \sum a_i d_{\rho_i}) = SO(2)$ の場合、ねじれジャケット関手はねじれなしの場合と符号が異なるが、キャラクターのトレースでは相殺されるため、$f \in C_c^\infty(G \rtimes \theta_0)$ に対して $f_G(inv^\theta_{<X_0}(\pi^{\Sigma_0})) = f_G(inv_{<X_0}(\pi^{\Sigma_0}))$ が成り立つ。