[論文レビュー] On the cuspidal support of discrete series for $p$-adic quasisplit $Sp(N)$ and $SO(N)$

Bin Xu|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、アーチャーのエンドスコピック分類を用いて、類似した $p$-進シンプレクティック群および直交群の離散的系列表現の分類を再証明し、モーリン＝タディッチのカスピッドルサポート理論とアーチャーの $L$-パック構造との間の直接的な関係を確立する。離散的系列表現は、特定の超臨界的表現のセグメントに一意に対応し、$L$-パック構造はエンドスコピックデータによって決定される。

ABSTRACT

Zelevinsky's classification theory of discrete series of $p$-adic general linear groups has been well known. Mœglin and Tadic gave the same kind of theory for $p$-adic classical groups, which is more complicated due to the occurrence of nontrivial structure of L-packets. Nonetheless, their work is independent of the endoscopic classification theory of Arthur (also Mok in the unitary case), which concerns the structure of L-packets in these cases. So our goal in this paper is to make more explicit the connection between these two very different types of theories. To do so, we reprove the results of Mœglin and Tadic in the case of quasisplit symplectic groups and orthogonal groups by using Arthur's theory.

研究の動機と目的

• 類似した $p$-進古典的群の離散的系列表現に関して、モーリン＝タディッチのカスピッドルサポート分類とアーチャーのエンドスコピック分類による $L$-パック構造との関係を明確化すること。
• アドホックな手法ではなく、アーチャーのフレームワークを用いて、類似した $Sp(N)$ および $SO(N)$ の離散的系列表現の分類を再導出すること。
• 離散的系列表現のカスピッドルサポートが、そのエンドスコピックデータとセグメント構造によって一意に決定されることを示すこと。
• エンドスコピック転送を通じて、$L$-パック構造とカスピッドルサポートが整合する統一的視点を提供すること。

提案手法

• アーチャーのエンドスコピック分類を用いて、$p$-進 $Sp(N)$ および $SO(N)$ の離散的系列表現のカスピッドルサポートを再導出する。
• レヴィ部分群の超臨界的表現からの正規化された放物的誘導を用いて表現を構成する。
• $δ$-関数、$D$-関数、および相互作用作用素を含む文字の恒等式を用いて、表現を比較する。
• $G(F)$ の $G(F)$-作用を用いて、$(M, \pi_{\text{cusp}})$ の対のカスピッドルサポートを同値関係まで定義する。
• ベルンシュタイン＝ツェレヴィンスキーの定理を用いて、すべての既約表現が放物的誘導から生じることを保証する。
• 小さな $|z|$ における文字和の消失に関する重要な補題を適用し、文字展開における係数の等価性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーチャーの分類において、$Sp(N)$ や $SO(N)$ の離散的系列表現のカスピッドルサポートは、そのエンドスコピックデータとどのように関係するか？
• RQ2 アーチャーのエンドスコピックフレームワークを用いて、モーリン＝タディッチの離散的系列分類を再構成できるか？
• RQ3 $L$-パックは、古典的群の離散的系列のカスピッドルサポート構造において、どのように正確に機能するか？
• RQ4 正規化された放物的誘導と文字の恒等式は、エンドスコピック設定においてどのように相互作用するか？
• RQ5 同じカスピッドルサポートを持つ2つの表現が、同型であるか、またはエンドスコピック転送によって関係するための条件は何か？

主な発見

• 類似した $Sp(N)$ や $SO(N)$ の離散的系列表現のカスピッドルサポートは、そのエンドスコピックデータと、誘導に用いられる超臨界的表現のセグメント構造によって一意に決定される。
• すべての離散的系列表現は、$ρ$ がユニタリ超臨界的であるときの、$\langle \rho; x, \dots, y \rangle$ の形をした誘導表現の唯一の既約部分表現として生じる。
• 離散的系列の $L$-パック構造はエンドスコピックデータに符号化されており、本稿の文字の恒等式は、アーチャー理論との整合性を確認している。
• $p$-進文字和における消失に関する補題を用いて、トレース公式における係数の等価性 $\sum a_{M,i} = \sum b_{w,j}$ が確立され、恒等式が証明される。
• $GL(n)$ における $St(\rho, a)$ による離散的系列の分類は、エンドスコピック転送とカスピッドルサポートを通じて、$Sp(N)$ および $SO(N)$ に拡張可能である。
• 本稿は、離散的系列のカスピッドルサポートがエンドスコピック転送のもとで保存されることを確認し、モーリン＝タディッチ理論とアーチャー理論が整合することを示している。