[論文レビュー] On matrix exponential approximations of the infimum of a spectrally negative Levy process

Florin Avram, András Horváth+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2012

Random Matrices and Applications参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、スペクトル的に負の Lévy 过程の下界に対する高次モーメントに基づく行列指数関数的近似を提案し、モーメントフィッティングおよびPadé近似技術を活用して、最初の通過時および破産確率の計算における精度を向上させる。本稿では、摂動付きCramér-Lundbergモデルに対する新しい近似を導入し、Johnson-Taaffe近似を任意の高次モーメントにまで拡張することで、Renyi、De Vylder、Whitt-Ramsayといった古典的手法を著しく上回る。

ABSTRACT

We recall four open problems concerning constructing high-order matrix-exponential approximations for the infimum of a spectrally negative Levy process (with applications to first-passage/ruin probabilities, the waiting time distribution in the M/G/1 queue, pricing of barrier options, etc). On the way, we provide a new approximation, for the perturbed Cramer-Lundberg model, and recall a remarkable family of (not minimal order) approximations of Johnson and Taaffe, which fit an arbitrarily high number of moments, greatly generalizing the currently used approximations of Renyi, De Vylder and Whitt-Ramsay. Obtaining such approximations which fit the Laplace transform at infinity as well would be quite useful.

研究の動機と目的

• 最初の通過問題および破産問題における、スペクトル的に負の Lévy 过程の下界に対する高次モーメントに基づく近似の不足を解消すること。
• 適正性（非負の密度関数）を保証するとともに、高次モーメントフィッティングを実現する摂動付きCramér-Lundbergモデルに対する新しい行列指数関数的近似を構築すること。
• JohnsonとTaaffeのモーメントフィッティング近似を任意の次数にまで一般化し、Renyi、De Vylder、Whitt-Ramsayといった現在の手法を上回ること。
• ラプラス変換の無限大における漸近的挙動と低次モーメントの両方を一致させる近似の構築可能性を調査すること。
• 係数の非負性と適切なPhase-type表現の確認により、行列指数関数的近似の適正性を保証すること。

提案手法

• 行列指数関数を用いた、下界分布のラプラス変換に対するモーメントベースのフィッティング手法を採用する。
• 高次モーメントフィッティングを達成するために、ラプラス変換に対するPadé近似および二点Padé近似を適用する。
• Pollaczek-Khinchineの公式の記号的逆変換を用いて、ベンチマーク用に正確な破産確率を導出する。
• 漸近的挙動と適正性を保つ摂動付きCramér-Lundbergモデルに対する新しい近似手法を導入する。
• ラプラス変換の有理近似を用いて、Johnson-Taaffe近似を任意のモーメント数にまで拡張し、モーメントフィッティングを可能にする。
• ガンマ分布および混合指数分布の保険金分布における正確な破産確率と近似確率の数値表を用いて、近似の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル的に負の Lévy 过程の下界に対する高次モーメントベースの近似を構築する際の根本的課題は何か？
• RQ2 非負の密度関数を保証する条件下で、3つ以上のモーメントをフィットさせる行列指数関数的近似を構築できるか？
• RQ3 低次モーメントと無限大におけるラプラス変換の漸近的挙動の両方を一致させる近似は、どのように設計できるか？
• RQ4 提案された近似手法は、Renyi、De Vylder、Whitt-Ramsayといった古典的手法に比べて、精度およびモーメントフィッティングの観点でどの程度優れているか？
• RQ5 Johnson-Taaffe型近似は、任意の次数にまで一般化可能であり、モーメントフィッティングおよび適正性を維持できるか？

主な発見

• 摂動付きCramér-Lundbergモデルに対する提案された行列指数関数的近似は、直接的なモーメントベースのPadé近似が失敗する場合でさえ、有効で適正な破産確率をもたらす。
• α=2.5、β=1のガンマ分布保険金に対して、中間領域では相対誤差が0.003%未満に抑えられ、RenyiおよびDe Vylder近似を著しく上回る。
• 定理3および定理5の近似では、ガンマ(2.5,1)分布のケースでx ≥ 1.5の範囲で相対誤差が0.002%未満にまで低下し、極めて高い精度を示す。
• 混合指数分布保険金に対しては、定理1の近似が、特にσ=0.1の低値領域で、レーム12の近似を常に上回り、大多数の領域で相対誤差が0.005%未満に抑えられる。
• Johnson-Taaffe近似族は任意の次数にまで一般化され、任意の数のモーメントをフィット可能にするとともに、適正性と収束性を維持する。
• 数値結果から、新しい近似手法は、異なる保険金分布および摂動レベルに対しても高い精度を維持しており、σが増加するに従い誤差が減少することが示された。