[論文レビュー] On maximal Albanese dimensional varieties

Osamu Fujino|ArXiv.org|Nov 15, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、アーベル多様体上の有理曲線の不在と最小モデルプログラムの結果を活用して、最大アーベル多様体次元をもつ滑らかで射影的な多様体が良い最小モデルをもつことを証明する。主な貢献は、半アーベル多様体の正則な標準因子をもつ双有理的モデルの存在を確立し、このクラスの多様体における良い最小モデル予想の特殊なケースを解決することにある。

ABSTRACT

We prove that every smooth projective variety with maximal Albanese dimension has a good minimal model. We also treat Ueno's problem on subvarieties of Abelian varieties.

研究の動機と目的

• 最大アーベル多様体次元をもつ滑らかで射影的な多様体に対して、良い最小モデルの存在を確立すること。
• アーベル多様体の部分多様体と標準因子の正則性に関するアーベンの問題に取り組むこと。
• アーベル多様体上に有理曲線が存在しないことから、適切な条件下で対数標準因子の非正則性および正則性が導かれるという事実を示すこと。
• 複素トーラスの部分多様体で、最大コルデイラ次元をもつものについて、[U, Remark 10.13]の補足的結果を提示すること。

提案手法

• 非ネフな対数標準因子が有理曲線を含む必要があることを、錐定理と有理曲線の負性を用いて示す。
• 基本点自由定理を適用して、klt対における大きなネフな因子が半正則であることを導く。
• アーベル多様体に有理曲線が存在しないという事実を用いて、有理曲線をもたない多様体からアーベル多様体への写像が、双有理的かつ標準因子が大きい場合、同型であることを示す。
• スティーン因子化と特異点の解消を用いて、問題を最大アーベル多様体次元をもつ滑らかな多様体のケースに還元する。
• [BCHM]を介して最小モデルプログラム（MMP）の技術を応用し、良い最小モデルを構成する。
• 有理曲線が存在しないという仮定のもとで、標準環の有限生成性と数的次元の等しさを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大アーベル多様体次元をもつすべての滑らかで射影的な多様体は、良い最小モデルをもつか？
• RQ2 アーベル多様体の部分多様体の標準因子が正則になる条件は何か？
• RQ3 多様体に有理曲線が存在しないことから、対数標準因子の非正則性または正則性が強制される条件は何か？
• RQ4 最大アーベル多様体次元をもつ多様体の文脈において、数的次元とイタカ次元の等しさが半正則性を意味するか？
• RQ5 最大アーベル多様体次元をもつ多様体において、コルデイラ次元と標準因子の数的次元の関係は何か？

主な発見

• 最大アーベル多様体次元をもつすべての滑らかで射影的な多様体は、Q-因子的で終等の特異点をもち、半正則な標準因子をもつ双有理的モデル（良い最小モデル）をもつ。
• 有理曲線をもたず、対数標準因子が大きくkltであるような射影的多様体では、その因子は正則である。
• 最大コルデイラ次元をもつ複素トーラスの部分多様体は、正則な標準バンドルをもつ。これはアーベンの予想の特殊ケースを確認する。
• 最大アーベル多様体次元をもつ多様体の標準環は有限生成であり、この条件下で標準因子の半正則性が導かれる。
• 最大アーベル多様体次元をもつ多様体で、標準因子が非正則である場合、その数的次元はイタカ次元に等しい。
• 最大アーベル多様体次元をもつ多様体で、標準的特異点をもち、数的次元とイタカ次元が等しい場合、豊富性定理が成り立つ。