[論文レビュー] On Maximizing Sums of Non-Monotone Submodular and Linear Functions

Benjamin Qi|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非単調かつ非負の部分加法的関数と線形関数の和を最大化する問題である正則化された非制約部分加法的最大化（RegularizedUSM）および正則化された制約付き部分加法的最大化（RegularizedCSM）に対する、改善された(α, β)-近似アルゴリズムを提示する。連続的グリーディおよびダブルグリーディ手法を拡張することで、特に非制約線形項に対して優れた近似因子を達成し、対称性ギャップ法を用いてタイトな近似不能性の下限を確立する。特にβ=1の場合の0.408-近似不能性結果も得られている。

ABSTRACT

We study the problem of Regularized Unconstrained Submodular Maximization (RegularizedUSM) as defined by Bodek and Feldman [BF22]. In this problem, you are given a non-monotone non-negative submodular function $f:2^{\mathcal N} o \mathbb R_{\ge 0}$ and a linear function $\ell:2^{\mathcal N} o \mathbb R$ over the same ground set $\mathcal N$, and the objective is to output a set $T\subseteq \mathcal N$ approximately maximizing the sum $f(T)+\ell(T)$. Specifically, an algorithm is said to provide an $(α,β)$-approximation for RegularizedUSM if it outputs a set $T$ such that $\mathbb E[f(T)+\ell(T)]\ge \max_{S\subseteq \mathcal N}[α\cdot f(S)+β\cdot \ell(S)]$. We also study the setting where $S$ and $T$ are subject to a matroid constraint, which we refer to as Regularized Constrained Submodular Maximization (RegularizedCSM). For both RegularizedUSM and RegularizedCSM, we provide improved $(α,β)$-approximation algorithms for the cases of non-positive $\ell$, non-negative $\ell$, and unconstrained $\ell$. In particular, for the case of unconstrained $\ell$, we are the first to provide nontrivial $(α,β)$-approximations for RegularizedCSM, and the $α$ we obtain for RegularizedUSM is superior to that of [BF22] for all $β\in (0,1)$. In addition to approximation algorithms, we provide improved inapproximability results for all of the aforementioned cases. In particular, we show that the $α$ our algorithm obtains for RegularizedCSM with unconstrained $\ell$ is tight for $β\ge \frac{e}{e+1}$. We also show 0.478-inapproximability for maximizing a submodular function where $S$ and $T$ are subject to a cardinality constraint, improving the long-standing 0.491-inapproximability result due to Gharan and Vondrak [GV10].

研究の動機と目的

• 非単調な非負の部分加法的関数と線形関数の和を最大化する問題であるRegularizedUSMおよびRegularizedCSMに対する、改善された近似アルゴリズムの開発。
• 特に非制約線形関数の場合に、既知の近似保証と近似不能性の下限とのギャップを埋めること。
• 特に非制約線形項の場合に、対称性ギャップ技術を用いてよりタイトな近似不能性の下限を提供すること。
• 連続的グリーディおよびダブルグリーディなどの既存手法を、一般の線形正則化を伴う非単調部分加法的関数に拡張すること。
• 特に線形関数が正または負の値を取り得る場合に、RegularizedUSMの近似の限界を調査すること。

提案手法

• 非単調部分加法的関数に任意の線形正則化を伴う場合に対応できるように、連続的グリーディおよびダブルグリーディフレームワークを拡張する。
• 修正された目的関数と対称性ギャップ解析を用いて、特に非制約線形項の場合の近似不能性の下限を導出する。
• Feldman [Fel18] のインスピレーションを受けて、アルゴリズムパイプラインにおける推定ステップに依存しない歪み技術を適用する。
• 一般化されたハイパーエッジ構築を、特にβ=1の場合の近似不能性の証明に用いるハードインスタンスとして採用する。
• パラメータp, q, κおよび線形項lp, lqを最適化することで、近似比と最適値の比を最小化し、近似不能性の下限を導出する。
• 有向カット関数の漸近的解析（k→∞）を用いて、目的関数の連続的リラクゼーションを近似する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非正の線形関数を伴うRegularizedUSMに対して、(0.5, β)-近似が達成可能か？
• RQ2 非制約線形関数を伴うRegularizedUSMに対して、(ϵ, 1)-近似アルゴリズムは存在するか？
• RQ3 非制約線形関数を伴うRegularizedUSMにおいて、(α, 1)-近似の最良のαは何か？
• RQ4 非制約線形項の近似と近似不能性のギャップを埋めるために、対称性ギャップ技術をさらに精緻化できるか？
• RQ5 非制約線形関数を伴うRegularizedCSMのタイトな近似不能性の下限は何か？

主な発見

• 非制約線形関数を伴うRegularizedUSMに対して、(0.4392, 1)-近似不能性結果を達成し、以前の0.478-近似不能性の下限を改善した。
• 非制約線形関数を伴うRegularizedUSMに対して、β=1の場合の0.408-近似不能性結果を確立し、この場合の最もタイトな既知の下限となった。
• すべてのβ∈(0,1)に対して、BodekとFeldman [BF22] よりも優れたα-近似を提供するアルゴリズムを提示し、特に非制約線形項の近似因子を改善した。
• 非制約線形関数を伴うRegularizedCSMに対して、初めて非自明な(α, β)-近似を提示し、β≥e/(e+1)の場合にαがタイトであることを示した。
• 対称性ギャップ法を用いて、基数制約付き非単調CSMの近似不能性下限を0.491から0.478に改善した。
• RegularizedUSMにおける(1, ε)-近似不能性は未解決のままであるが、そのような下限が達成可能でない可能性を強く示唆する証拠を提供した。