[論文レビュー] On McKay Quiver and Covering Spaces

Jin Yun Guo|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限部分群 $G$ の McKay クイバーが、その $\mathrm{SL}(m,\mathbb{C})$-核 $N$ の McKay クイバーの正則被覆として構成可能であることを確立している。この条件は、$N$ のすべての既約特徴標が $G$ に拡張可能である場合に成立する。さらに、$G$ を自然な写像により $\mathrm{SL}(m+1,\mathbb{C})$ に埋め込むことで、Nakayama 移動を介して各頂点にループを追加し、新たな McKay クイバーが得られることを示している。これらの構成は、表現論および物理学における既知のクイバー、たとえば $\tilde{A}_n$ や D-brane クイバーを説明する。

ABSTRACT

In this paper, we study the relationship between the McKay quivers of a finite subgroups $G$ of special linear groups general linear groups, via some natural extension and embedding. We show that the McKay quiver of certain extension of a finite subgroup $G$ of $\mathrm{SL}(m,\mathbb C)$ in $\mathrm{GL}(m,\mathbb C)$ is a regular covering of the McKay quiver of $G$, and when embedding $G$ in a canonical way into $\mathrm{GL}(m-1,\mathbb C)$, the new McKay quiver is obtained by adding an arrow from the Nakayama translation of $i$ back to $i$ for each $i$. We also show that certain interesting examples of McKay quivers are obtained in these two ways.

研究の動機と目的

• 有限部分群 $G \leq \mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ と $\mathrm{SL}(m,\mathbb{C})$ 間の McKay クイバーの関係を明確化すること。
• $\mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ の $\mathrm{SL}(m,\mathbb{C})$ 部分群への拡張の McKay クイバーが、元のクイバーの正則被覆であることを示すこと。
• $\mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ 群を $\mathrm{SL}(m+1,\mathbb{C})$ に埋め込むことで、Nakayama 移動を介してループを追加し、新たな McKay クイバーが得られることを示すこと。
• 表現論および弦理論における既知のクイバー、たとえば $\tilde{A}_n$ および D-brane クイバーを統一的に構成すること。
• これらの構成により、McKay クイバーの普遍被覆が実現可能であり、表現論と位相幾何学を結びつけること。

提案手法

• $\mathrm{det}: G \to \mathbb{C}^*$ を用いて、$N = G \cap \mathrm{SL}(m,\mathbb{C})$ に対して $G/N$ が巡回群であることを示す。
• $N$ のすべての既約特徴標が $G$ に拡張可能であるという条件を適用し、$G$ の McKay クイバーから $N$ の McKay クイバーへの正則被覆写像（被覆群 $G/N$ を持つ）を構成する。
• $G \leq \mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ を自然な写像 $f$ を介して $\mathrm{SL}(m+1,\mathbb{C})$ に埋め込む定義を行う。この写像は表現空間をずらす。
• 新しい McKay クイバーが、各頂点 $i$ に対してその Nakayama 移動 $\tau(i)$ へ戻る矢印を追加することで得られることを示す。
• 普遍被覆空間の構成を用いて、外代数上の歪群代数の表現理論を関連付ける。
• これらの構成を用いて、既知のクイバー（たとえば $\tilde{A}_n$ の二重クイバーおよび D-brane 物理からのクイバー）を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限部分群 $G \leq \mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ の McKay クイバーが、その $\mathrm{SL}(m,\mathbb{C})$-核 $N$ の McKay クイバーの正則被覆となる条件は何か？
• RQ2 $\mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ の有限部分群を $\mathrm{SL}(m+1,\mathbb{C})$ に埋め込むと、その McKay クイバーはどのように変化するか？
• RQ3 Nakayama 移動は、$\mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ 部分群の McKay クイバーの構成において果たす役割は何か？
• RQ4 アフィン・ディンキン図 $\tilde{A}_n$ の二重クイバーは、$\mathrm{GL}(1,\mathbb{C})$ 部分群の McKay クイバーから体系的に構成可能か？
• RQ5 これらの構成は、$\mathbb{P}^{1,1,1,1,2}$ の D-brane 物理における McKay クイバー（例：$\tilde{A}_n$ クイバー）をどのように説明するか？

主な発見

• $N = G \cap \mathrm{SL}(m,\mathbb{C})$ のすべての既約特徴標が $G$ に拡張可能である場合、$G \leq \mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ の McKay クイバーは、$N$ の McKay クイバーの正則被覆となり、被覆群は $G/N$ である。
• $G \leq \mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ が自然な写像 $f$ を介して $\mathrm{SL}(m+1,\mathbb{C})$ に埋め込まれるとき、対応する McKay クイバーは、各頂点 $i$ からその Nakayama 移動 $\tau(i)$ へのループを追加することで得られる。
• アフィン・ディンキン図 $\tilde{A}_{n-1}$ の二重クイバーは、$\mathrm{GL}(1,\mathbb{C})$ における自明群の拡張と $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ への埋め込みにより構成された $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ の有限部分群の McKay クイバーとして得られる。
• D-brane 理論における $\mathbb{P}^{1,1,1,1,2}$ の McKay クイバーは、$\mathrm{SL}(4,\mathbb{C})$ における自明群を、$\mathrm{GL}(4,\mathbb{C})$ 内の位数 6 の巡回群で拡張し、その後 $\mathrm{SL}(4,\mathbb{C})$ に埋め込むことで、Nakayama 移動を介してループを追加することで構成される。
• 有限部分群 $\mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ の 3-McKay クイバーで頂点数が 4 であるものは、すべて $\tilde{A}_1$ の二重クイバーに Nakayama 移動の構成を適用することで得られる。
• これらの方法により、McKay クイバーの普遍被覆を構成可能であり、単連結なクイバーが得られ、$m=2$ の場合の先行研究を説明できる。