[論文レビュー] On moduli spaces of flat connections with non-simply connected structure group

Christoph Schweigert|CERN Bulletin|Nov 12, 1996

Elasticity and Wave Propagation被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非単連結なコンパクト単純リー群 G に対する 2-トーラス上の平坦 G-バンドルのモジュライ空間と、トポロジーが自明だが構造群が異なる単連結な群である平坦バンドルのモジュライ空間との間にシンプレクティック同型を確立する。主な結果は、ゲージバンドルにおけるトポロジカルな非自明性を、ゲージ群の変更と交換可能であることを示しており、2次元ゲージ理論およびトポロジカル量子場理論における平坦接続の研究における強力な双対性を提供する。

ABSTRACT

We consider the moduli space of flat G-bundles over the twodimensional torus, where G is a real, compact, simple Lie group which is not simply connected. We show that the connected components that describe topologically non-trivial bundles are isomorphic as symplectic spaces to moduli spaces of topologically trivial bundles with a different structure group. Some physical applications of this isomorphism which allows to trade topological non-triviality for a change of the gauge group are sketched.

研究の動機と目的

• G がコンパクトで単純かつ単連結でないリー群である場合、2-トーラス上の平坦 G-バンドルのモジュライ空間の構造を理解すること。
• トポロジカルな障害（非自明なバンドル）がモジュライ空間の幾何構造およびシンプレクティック構造に与える影響を分析すること。
• トポロジカルに非自明な G-バンドルと、異なる構造群をもつトポロジカルに自明なバンドルとの間の対応関係を確立すること。
• この対応関係がトポロジカル量子場理論および2次元ゲージ理論において与える物理的意味を探索すること。
• 異なる構造群およびトポロジカルタイプをもつ平坦接続を結びつける幾何的・代数的枠組みを提供すること。

提案手法

• 本研究は、G がコンパクトで単純かつ単連結でないリー群であるときの、2-トーラス上の平坦 G-バンドルのモジュライ空間に焦点を当てる。
• G の基本群が、トーラス上の主 G-バンドルの分類を特徴クラスを用いて決定することを用いる。
• 非自明なバンドルに対応するモジュライ空間の連結成分と、異なる単連結な構造群をもつ平坦バンドルのモジュライ空間との間に、シンプレクティック同型を構成する。
• この同型は、平坦接続のホロノミー表現と G の被覆群構造との間の対応に基づいて確立される。
• この方法は、トーラスの基本群から G への準同型（共役を除く）を用いた平坦バンドルの分類に依存する。
• この同型の下でもモジュライ空間上のシンプレクティック構造が保たれることにより、幾何的同値性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G が単連結でない場合、2-トーラス上の平坦 G-バンドルのモジュライ空間の連結成分はどのように振る舞うか？
• RQ2 トポロジカルに非自明なトポロジーをもつ平坦バンドルのモジュライ空間の幾何は、トポロジカルに自明だが異なるゲージ群をもつものと関係づけられるか？
• RQ3 非単連結な G をもつ平坦接続のモジュライ空間と、単連結な被覆群をもつものの間の正確なシンプレクティック関係は何か？
• RQ4 この双対性がゲージ理論およびトポロジカル場理論において与える物理的意味は何か？
• RQ5 構造群の選択が、トーラス上の平坦接続の分類およびシンプレクティック構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• トポロジカルに非自明な G-バンドルに対応するモジュライ空間の連結成分は、異なる単連結な構造群をもつ平坦接続のモジュライ空間とシンプレクティック同型である。
• この同型はシンプレクティック構造を保つため、トポロジカルな非自明性とゲージ群の変更の間の深い幾何的双対性を示している。
• この結果は、バンドル構造におけるトポロジカル障害が、ゲージ群の再定義によって「吸収」されうることを示唆しており、本質的にトポロジーと群構造の間で交換可能である。
• この同型は、ホロノミー表現と G の普遍被覆との間の対応に基づいて構成される。
• 物理的意味として、2次元ゲージ理論における特定のトポロジカルなセクターを、別のゲージ理論における通常のセクターとして再解釈できる。
• 本稿は、異なるゲージ群およびトポロジカルタイプをもつ平坦接続の間の双対性を、チェーン＝シモンズ理論および共形場理論に関連して、具体的に実現している。