[論文レビュー] On momentum operator in quantum field theory

Bozhidar Z. Iliev|ArXiv.org|Jun 2, 2002

Quantum Mechanics and Applications参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、量子場の理論における運動量演算子の2つの定義の違いを調査している：エネルギー運動量テンソルからノネルの定理を経由して得られる正準（物理的）運動量演算子と、演算子空間上の時空移動の生成子として定義される移動（数学的）運動量演算子。主な結果は、これらの2つの演算子は一般に等価ではなく、物理状態上で数学的運動量演算子は3次元運動量がゼロでない限り消えることから、量子場の理論と標準的量子力学の公理との間に不整合があることが明らかになる。

ABSTRACT

The interrelations between the two definitions of momentum operator, via the canonical energy-momentum tensorial operator and as translation operator (on the operator space), are studied in quantum field theory. These definitions give rise to similar but, generally, different momentum operators, each of them having its own place in the theory. Some speculations on the relations between quantum field theory and quantum mechanics are presented.

研究の動機と目的

• 量子場の理論における運動量演算子の2つの定義の概念的および数学的差異を明確化すること。
• 正準（物理的）運動量演算子と移動（数学的）運動量演算子が一致するか、あるいは異なる条件を分析すること。
• 量子場の理論と標準的量子力学の基礎的不整合、特に運動量演算子に関して調査すること。
• この差異が非相対論的および相対論的量子力学と量子場の理論との関係に与える影響を検討すること。

提案手法

• ラグランジアンの時空移動不変性に起因するノネルカレントから正準運動量演算子を導出する。
• ヘイゼンベルク図形における場の演算子空間へのポincare群作用の生成子として移動運動量演算子を定義する。
• 場の演算子と移動生成子の交換関係を用いて、2つの運動量演算子の関係を導出する。
• ヘイゼンベルク図形の形式を用いて、場の演算子の時間発展および移動に対する変換性を分析する。
• 物理状態への作用およびシュレーディンガー方程式との整合性を検討することで、得られた運動量演算子を比較する。
• シュレーディンガー方程式をQFTの枠組みに適用した際に生じる不整合を分析し、3次元運動量がゼロでない限り、物理状態上で数学的運動量演算子が消えるという結論に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノネルの定理から得られる正準運動量演算子と、群表現論から得られる移動運動量演算子は、量子場の理論においてどのように関係しているか？
• RQ2 正準運動量演算子と移動運動量演算子が等価となる条件は何か？
• RQ3 標準的シュレーディンガー方程式が、運動量演算子に適用された場合、なぜ量子場の理論の構造と矛盾を生じるのか？
• RQ4 移動定義における4次元運動量演算子が定数ベクトルの分だけ定義されるとされる物理的意味は何か？
• RQ5 運動量演算子の不整合が、量子力学を量子場の理論から導出するプロセスにどのように影響するか？

主な発見

• エネルギー運動量テンソルから導かれる正準運動量演算子は保存量であり、系における物理的運動量に対応する。
• 演算子空間上の時空移動の生成子として定義される移動運動量演算子は、一般に正準運動量演算子とは等価ではない。
• 2つの演算子は3次元運動量がゼロのときのみ一致するが、これは非ゼロ運動量状態に適用した場合に矛盾を引き起こす。
• 量子力学のシュレーディンガー方程式は、3次元運動量がゼロでない限り、量子場の理論の完全な構造と整合しない。
• 物理状態上で数学的運動量演算子は、運動量がゼロでない限り消えるため、量子力学の公理と量子場の理論の公理の間に根本的な不整合があることが示唆される。
• 本論文は、シュレーディンガー方程式に制限を加えることによって量子場の理論から量子力学を一貫して導出することはできないと結論づける。これは運動量演算子の不一致に起因する。